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я 3 —f— i» a —f— 0* = 1 aa' -j~ b!) / ec' =s о 
a^-j-b' 3 -f- c /s = 1 aa"-f- bb"-}- сс'^ о 
a //a_j_ ])//a_|_c //2 = 1 a , a // -fb'b"-|-c c''= о 
II. Dieses vorausgesetzt, wollen wir nun annehmen , dafs 
eine Ebene durch die gesuchte freye Rotationsachse und durch 
die Achse der z die gegebene Ebene derxy in einer Linie schnei 
det, welche letzte mit der Rotationsachse den Winkel ф, uml 
mit der Abscissenachse der x den Winkel 9 bilde. Da diese Ebene 
durch die Rotationsachse und durch die Achse der z, welche wir 
für die Ebene der neuen x'y' annehmen wollen, auf der Ebene 
der xy senkrecht steht, so ist in den vorhergehenden Ausdrücken 
ä= ()o°, und man erhält daher für die neuen Coordinaten x'y'z' 
«iie Ausdrücke 
x' = (x Cos ф — у Sin ф) Cos <p — z Sin <p 
y' = —(x Cos ф -—• у Sin ф) Sin <p — z Cos 1 p 
Z' = X Sin Ф -f- у Cos Ф 
Wenn aber die neue Achse der x' zugleich eine freye Achse sfcyn 
soll , so mufs nach dem Vorhergehenden J'x / y' dm — о und 
/’x' z' dm = о seyn. Da übrigens dieselbe Achse auch durch den 
Schwerpunkt des Körpers gehen soll, so ist (nach Cap. I §. 10.I) 
auch./y'dm = o, und fz 1 dm = о 
Setzt man aber der Kürze wegen 
f x 2 dm — a und jxy dm = d 
fy 2 dm = b y"xzdm = e 
Jz 2 dm = c yyzdm == f 
so gibt die erste jener Bedingungsgleichungen, oder, so gibt 
die Gleichung J'x‘ у ' dm = o, wenn man in ihr die vorhergehen 
den, Werthe von x' und y* substimirt, 
2 f Sin ф — 2 e Cosxh 
tg 2 9 = 
a Cos 2 ф.-f- b Sin 2 ф —c—2 d Sin ф Cos ф 
und eben so gibt die zweyte /x'z'dm = о 
d ( Cos 3 ф—Sin' 2 ф) -f- (a—b) Sin ф Cos ф 
Tg 9 
e Sin —|— f Cos 4 
Substituirt man diesen Werth von tg 9 in der Gleichung 
tg 2 Ф = 
f g P 
5 so erhält man zwey Ausdrücke für tg2^, und 
1— tg P 
wenn man diese beyden Ausdrücke von tgvß einander gleich 
setzt, so erhält man eine Gleichung, in welcher blofs die unbe 
kannte Gröfse tg 4 vorkömmt, und die, wie man leicht sieht, 
für tg 4 des <3 ritten Grades ist. Da aber eine Gleichung des 
de