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und da hier (A — B) und (A —■ C), so wie Cos'* ß und Cos* *y henei 
immer positive Gröfsen sind, so ist auch immer C' A. Ist drat 
aber G das Kleinste der drey Momente A, B, C, so ist C' = C addir 
-J- (A—C) Cos* « -f- (B — C) Cos 5 ß und daher auch immer bald 
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I. Sind für einen Körper die beyden Momente der Trägheit J v ^ 
A und B einander gleich, so gibt die vorhergehende Gleichung Ku^e 
C' = A Sin 3 ty + C Cos 2 g leic 
also C' unabhängig von den Winkeln « und ß. Nimmt man also 
an, dafs ein rechter Winkel ist, d. h. dafs die Achse der z 
senkrecht auf der Achse der ?J steht, so ist C' = A, oder die Neni: 
Momente der Trägheit in Beziehung auf alle Achsen, die in <] en « 
der Ebene der x'y' liegen, sind unter einander gleich, und alle 
diese Achsen sind freye Achsen, wie dieses der Fall mit den 
durch liotation einer Curve entstandenen Körpern ist ($, 2.). un j 
Hätte man endlich A = B = C, so wäre auch allgemein C' = A, man. 
oder dann sind alle Achsen des Körpers, die in irgend einer auf e 
Dichtung durch den Schwerpunkt desselben gehen, zugleich freye . 
Achsen, wie dieses z. B. mit der Kugel der Fall ist. Achs 
II. Kennt man das Moment der Trägheit eines Körpers in in Be 
Beziehung auf eine Achse, die durch seinen Schwerpunkt geht^, ptink 
so kann man dai’aus leicht auch das Moment der Trägheit für unter 
jede andere der ersteren parallelen Achse linden. 
Sey.z B. die erste gegebene Achse die der z, die also durch 
den Schwerpunkt geht, der zugleich der Anfangspunkt der Coor- ] 
dinaten seyn soll. Die zweyte der ersten parallele Achse soll die Träg 
Ebene xy in dem Punkte x = a , y = ß schneiden. Sey a die 
Distanz des Schwerpunktes von dieser zweyten Achse, also a 2 —a 2 
+ ß 2 . Sey ferner r die Distanz eines Elementes dm des Körpers ten T 
von der ersten , und r' von der zweyten Achse , also > 
den 1 
r 9 = x a + y 2 und pers 
r 9 =. (x — «) a (y — ß) 2 , also auch Körp 
r /fi =. X 2 —J— y 2 ß 2 — 2 (a X + ß y) Th#'. 
r n x die A 
= r9 +a 2 —2(«x + ß y ) Integ 
Multiplicirt man den letzten Ausdruck durch drn, und integrirt, z = 
so ist man 1 
fr 12 dm = fr 2 dm -f- a 2 f dm — 2 ctfx dm — 2 ß fy dm c J 
Da aber der Voraussetzung gemäfs, der Schwerpunkt in der 
Achse der z liegt, so ist (Cap. I $. 10. II) in Be 
/x dm — Sy dm == o ^ 
ferner ist /dm — m die Masse des ganzen Körpers , 
also auch /r /s dm = /r 2 dm -J- a 2 . m der z 
Man erhält also das gesuchte Moment., wenn man zu dem gege-