benen Momente die Masse des Körpers, multiplieirt in das Qua
drat der Entfernung des Schwerpunktes von der neuen Achse
addirt. So ist für die Kugel, deren Halbmesser a ist, wie wir
bald sehen werden,
8ira 5
J v- dm = — , und m =
4 Tr a
, also ist auch das Moment der
' 3
Kugel für eine Achse, welche die Oberfläche der Kugel tangirt,
gleich
i»7ra 5 A^a 3 28
+ V-
i 5
= —— 7 t a
1 5
Nennt man überhaupt mk J das Moment fr 5 dm für eine durch
den Schwerpunkt des Körpers gehende Achse, so hat man
fr /3 dm = m (k 2 -j- a 2 )
und da lv a seiner Natur nach immer positiv seyn mufs , so sieht
man, dafs das Moment der Trägheit eines Körpers in Beziehung
auf eine durch den Schwerpunkt gehende Achse immer kleiner
ist, als das in Beziehung auf jede andere mit jener parallelen
Achse, und dafs endlich die Momente der Trägheit eines Körpers
in Beziehung auf solche Achsen, die gleich weit von dem Schwer
punkte entfernt, und unter einander parallel sind, auch alle
Unter einander gleich seyn müssen.
5. 6 ;
Ehe wir weiter gehen, wollen wir zuerst die Momente der
Trägheit einiger Körper für besondere Fälle zu bestimmen suchen.
I. Man suche die Momente der Trägheit eines rechtwinklich
ten Parallelepipedums.
Sind a b c die Längen der drey Seiten desselben , die mit
den Achsen der x y z parallel sind, so ist das Volum des Kör
pers gleich abc, und diesem Ausdrucke ist auch die Masse m des
Körpers proportional, wenn die Dichte desselben in allen seinen
ThQÜen dieselbe ist. Das Moment der Trägheit in Beziehung auf
die Achse der z ist /(x s -f- y 2 ) dm oder fff (x 5 -j- y 2 ) dx dy dz.
Integrirt man diesen Ausdruck zuerst in Beziehung auf z, von
z = o bis z = c, so hat man c .ff(\ z -J- y 3 ) dx dy; integrirt
man diese Gröfse in Beziehung auf y von y = o bis y = b, so ist
c -/( bxi + r) dx; integrirt man endlich auch diese Gröfse
in Beziehung auf x von x = o bis x = a , so ist c. C-r+x)’
also ist das Moment der Trägheit in Beziehung auf die Achse
abc m
der z gleich — (a 2 +b s ) = — (a 3 + b 3 ), und eben so in Be-
