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also auch 
welches die gesuchten Gleichungen der kürzesten Linie auf der 
gegebenen Fläche sind. 
I. Man kann diese Gleichungen noch durch eine andere Be 
trachtung linden, die ebenfalls der Mechanik angehört. 
Ist wie zuvor, u — o die Gleichung der Fläche, so ist die 
Gleichung der diese Fläche tangirenden Ebene 
31 (!i)+ y (|f)+ z GnD +*=° • • ••« 
Die kürzeste Linie, welche auf dieserP'läche zwischen zwey ge 
gebenen Punkten gezogen werden kann, wird die seyn, welche 
ein auf dieser Fläche zwischen jenen Endpunkten frey ge 
spannter Faden beschreibt, d. h. ein so gespannter Faden, 
dessen Elemente alle im Gleichgewichte, in Ruhe auf der Fläche 
liegen. Dieses Gleichgewicht wird aber nur dann Statt haben, wenn 
der Druck, der aus der Spannung des Fadens auf die Fläche ent 
steht, in allen Funkten des Fadens senkrecht auf die Fläche, oder 
in der Richtung des Krümmungshalbmessers der Fläche liegt. 
Die gesuchte kürzeste Linie wird also die Eigenschaft haben, dafs 
ihre Krümmungshalbmesser alle senkrecht auf die Fläche sind, Sey 
x -J- Ay -f Bz = o (2) 
die Gleichung der Ebene des Krümmungskreises der gesuchten 
Cürve, so hat man auch 
dx + A dy -}- B dz = o 
A d 3 y -J- Bd 3 z = o 
woraus man für A und B die Werthe erhält 
A = 
dxd 3 z 
dz d 3 y — dy d*z 
B = 
dx d 2 y 
dzd 3 y—dy d 3 z 
Da aber nach dein Vorhergehenden die berührende Ebene und 
die Ebene des Krümmungskreises auf einander senkrecht stehen 
müssen, so werden sich die Ebenen (1) und (2) unter rechten 
Winkeln schneiden, welche Bedingung durch folgende Gleichung 
ausgedrückt wird 
Vergleicht man diesen Ausdruck mit dem Differential der Glei 
chung (1) oder mit 
(IO Jx +( fjO jy +( 37 ) iz = °