Object: Vorlesungen über Differential- und Integralrechnung (2. Band)

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Zweiter Teil. Integral-Rechnung. 
g) Den im ersten Raumoktanten liegenden Teil der Fläche 
z 2 -f ipo cos a + y sin a) 2 —- a 2 = 0 (Zylinderfläche). 
h) Zu zeigen, daß die Quadratur der Flächen 2 az = x 2 y 2 
und az = xy auf ein und dasselbe Integral führt; insbesondere 
den Teil zu berechnen, welcher sich in den Kreis x 2 + y 2 = a 2 
projiziert. 
§ 5. Massen-, Moment- und Sehwerpunktsbestimmungen. 
310. Allgemeine Betrachtung. Bei den Anwendungen 
der Integralrechnung auf die Mechanik stellen sich Probleme 
ein, die sich unter der folgenden analytischen Form zusammen 
fassen lassen: Es sei K ein stetiges geometrisches Gebilde — 
ein Körper, eine Fläche, eine Linie —, dK ein Element 
(Differential) desselben, cp eine stetige Funktion jener Argumente, 
welche die Lage von dK in K bestimmen; verlangt wird der 
Wert des über das Gebilde K erstreckten Integrals von cpdK, 
also von 
(1) 
K 
Das Integral ist ein einfaches, doppeltes, dreifaches, je 
nachdem eine Funktion von ein, zwei, drei Variablen ist. 
Also nicht auf die Anzahl der Dimensionen von K kommt es 
dabei an. 
Die Bedeutung des Integrals hängt von der Bedeutung 
des K und des cp ab. Allgemein kann man den Wert von (1) 
als das Resultat der Integration der Funktion cp durch das 
Gebiet K bezeichnen. 
Die Aufzählung einiger besonderer Fälle wird zeigen, wie 
umfassend die analytische Form (1) ist. 
a) Bedeutet K einen Körper, dessen Volumen v ist, dK 
also das Volumendifferential dv, cp die Dichtigkeit einer den 
Körper erfüllenden Masse an der Stelle des Elements dv*), 
so drückt 
*) Aus der Begriffsentwicklung des Integrals ist der Sinn dieser 
Redewendung klar; es kann für cp die Dichtigkeit in irgend einem 
Punkte des Raumelements dv genommen werden.
	        
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