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Zweiter Teil. Integral-Rechnung.
g) Den im ersten Raumoktanten liegenden Teil der Fläche
z 2 -f ipo cos a + y sin a) 2 —- a 2 = 0 (Zylinderfläche).
h) Zu zeigen, daß die Quadratur der Flächen 2 az = x 2 y 2
und az = xy auf ein und dasselbe Integral führt; insbesondere
den Teil zu berechnen, welcher sich in den Kreis x 2 + y 2 = a 2
projiziert.
§ 5. Massen-, Moment- und Sehwerpunktsbestimmungen.
310. Allgemeine Betrachtung. Bei den Anwendungen
der Integralrechnung auf die Mechanik stellen sich Probleme
ein, die sich unter der folgenden analytischen Form zusammen
fassen lassen: Es sei K ein stetiges geometrisches Gebilde —
ein Körper, eine Fläche, eine Linie —, dK ein Element
(Differential) desselben, cp eine stetige Funktion jener Argumente,
welche die Lage von dK in K bestimmen; verlangt wird der
Wert des über das Gebilde K erstreckten Integrals von cpdK,
also von
(1)
K
Das Integral ist ein einfaches, doppeltes, dreifaches, je
nachdem eine Funktion von ein, zwei, drei Variablen ist.
Also nicht auf die Anzahl der Dimensionen von K kommt es
dabei an.
Die Bedeutung des Integrals hängt von der Bedeutung
des K und des cp ab. Allgemein kann man den Wert von (1)
als das Resultat der Integration der Funktion cp durch das
Gebiet K bezeichnen.
Die Aufzählung einiger besonderer Fälle wird zeigen, wie
umfassend die analytische Form (1) ist.
a) Bedeutet K einen Körper, dessen Volumen v ist, dK
also das Volumendifferential dv, cp die Dichtigkeit einer den
Körper erfüllenden Masse an der Stelle des Elements dv*),
so drückt
*) Aus der Begriffsentwicklung des Integrals ist der Sinn dieser
Redewendung klar; es kann für cp die Dichtigkeit in irgend einem
Punkte des Raumelements dv genommen werden.