590 
Vierter Abschnitt. Substitutionsmethoden. V. 
Es gibt also im Ganzen vier reelle und zwei laterale Ver 
schiebungen des Coordinatenanfangspunctes 7 bei welchen die har 
monischen Mittel von je zwei Wurzeln gleich werden. 
(22) Wenn die Function 
II = a 2 d — c 2 
gleich Null werden soll, so genügt dazu eine lineare Transformation; 
und die Resolvente ist die kubische XXII. Setzt man x — z an 
die Stelle von x, so wird die Function a 2 d — y 2 gleich Null, wenn 
man annimmt 
x t ' x 2 ' — x 3 x 4 = (x 1 — z)(x 2 — z) — (x 3 — z){x 4 — z) 
— (x x x. 2 — x 3 x 4 ) — (x x x 2 — x 3 — X 4 ) z = 0 . 
Da die Function drei solcher Factoren besitzt, so ist die Re 
solvente vom dritten Grade. Man erhält dieselbe in Coefficienten 
der gegebenen Gleichung ausgedrückt, indem man entweder die 
Reducente in die Coefficienten der Variirten einführt, also die 
Gleichung erd — y 2 — 0 nach Potenzen von z entwickelt, oder in 
dem man mit Hülfe der Sätze der symmetrischen Function das Product 
[(x x x 2 — x 3 x 4 ) — (x x + x 2 — x 3 — x 4 )z] . [(x x x 3 — x 2 x 4 ) 
, -(xy-x 2 -{-x 3 — x 4 )z] [(x x x 4 — x 2 x 3 ) — (Xy -x 2 — x 3 + X 4 )z] = 0 
in exacter Form darstellt. 
Durch die Reducente (22) wird das Coordinatensystem der 
Curve y = f(x) so verschoben, dass die vier variirten Wurzeln je 
zwei und zwei gleiche oder lauter gleiche Vorzeichen haben und 
dabei eine geometrische Proportion bilden. 
Beispiel. Die Variirte sei 
z' 4 — 12x' s + 47x' 2 — 72x' + 36 = 0 . 
Die Wurzeln sind 
und 
Xy 1 , 
Hier ist 
x 2 — 6 , x 3 = 3 , x 4 = 2 . 
-y 2 = 12 2 • 36 — 72 2 = 0 
XyX 2 — x 3 x 4 = 0 , 
oder 
/V’ r • /V» r - ..... /V» f • rp r 
tA^i • tA-g tA/^ • «A/^ • 
(23) Wenn die Function 
V 3 — a 2 d — 4bd -f- c 2