429 — Die frühem Rechnungen unter Voraussetzung d. Kugelgestalt. — 211 
Die dritte Art aber beruht auf Doppeltberechnung derselben Seiten aus ver 
schiedenen Kombinationen von Dreiecken, wie z. B. nach 6 
t, = a • Si ß: Si y und t 2 = v • Si ?/: Si ö = a • Si X • Si jj : (Si /i • Si d) 13 
Da nun für richtige Winkel t, = t 2 sein soll, so muss somit die Gleichung 
Si [ß-(- (3) + (4)] • Si [ J + (6)] • Si [/i -f- (8)] = 
= Si [X + (4)] • Si [y + (5)] • Si b + (8) + (9)] 
bestehen. Logarithmieren wir dieselbe und bedenken, dass, sobald Ax klein 
ist, nach dem Taylor’schen Lehrsätze 
Lsi (x-f Ax) = Lsi x -j- M • Ct x • Ax • Si 1" 
gesetzt werden kann, w r o M = 0,434 2945 den Modulus der gemeinen Loga-^ 
rithmen bezeichnet, so ergiebt sich 
t ~ Si1 • Si y • Si v __ -.r n; 1 ,i T(3) • Ct ß + (4) • (Ct ß — Ct Ä) — (5) •Cty + 
S Siß-8id-&ip L(6)’Ctd + (8)-(Ct/* —Ctfl) — (9)-Cti, 
oder, wenn die Werte eingesetzt und beide Seiten mit 1000000 multipliziert 
werden, noch die neue Bedingungsgleichung 
98 = — 3 • (3) — 24 • (4) — 22 • (5) + 24 • (6) + 29 • (8) — 0 • (9) 1 4 
Die so erhaltenen fünf Bedingungsgleichungen 8, 10, 11, 12, 14 haben nun 
alle die Form a-x + b- y + c- z-f = m 15 
und können daher nach den in 52 entwickelten Grundsätzen zur Bestimmung 
der wahrscheinlichsten Werte der x, y, z, ... benutzt werden; jedoch lässt 
sich die Rechnung in unserm Falle, wo die Anzahl der Unbekannten grösser 
als die der Bedingungsgleichungen ist, durch Benutzung eines von Gauss an 
gelegten Fussweges bedeutend abkürzen: Da nämlich die x, y, z, ... Felilei 
sind, also x 2 + y 2 + z 2 +'... einen Minimalwert annehmen soll, so hat man 
während nach 15 
x-dx -+-y-dy + z- dz-f-.-. = 0 
a-dx + b- dy + c- dz + ... = 0 
16 
i; 
Multipliziert man nun jede der Gleichungen 17 mit einem unbestimmten Faktor k 
und addiert die Produkte, so erhält man mit Hilfe von 16 die Gleichung 
2'ak-dx-)- 2’bk-dy-j- ^’ck-dz-j-... = x-dx + y- dy + z- dz-j-... 
welche für jeden Wert der dx, dy, dz, ... bestehen muss, also die Gleichheiten 
x = ^ak y = A'bk z = £ck ... IS 
bedingt. Substituiert man diese Werte in die 15, so erhält man ebensoviele 
Gleichungen der Form 
(a t 2 + b, 2 + ...)k 1 + (a 1 a 2 + b 1 b 2 + ..)k, + (a 1 a 3 +b 1 b3 + ..)k 3 4-... = m 1 
(a 2 a, -f-b 2 b, -f-..) kj —|- (a 2 2 -j- b 2 2 —(— ...) k 2 -{- (a 2 a 3 -(— b 2 b 3 +••) k 3 + ... = m 2 
etc., als Bedingungsgleichungen, oder also auch als k vorhanden sind, — kann 
somit aus diesen die k oder die sog. Correlaten von Gauss, — und sodann 
endlich aus den 18 die eigentlichen Unbekannten x, y, z, ... berechnen. So 
ergeben sich unter Benutzung des zur leichtern Übersicht aus den 8, 10, 11, 
12, 14 zusammengestellten Tableaus 
k 
a 
(1) 
b 
(2) 
c 
(3) 
d 
(4) 
e 
(5) 
f 
(6) 
g 
(7) 
h 
(8) 
(9) 
m 
1 
1 
1 
— 1 
— 1,1 
2 
1 
— 
— 
1 
— 
— 
— 
1 
— 
0,1 
3 
— 
— 
1 
— 
— 
— 
1 
— 
1 
0,8 
4 
1 
— 1 
1 
1 
1 
— 
— 
— 
— 
0,3 
3 1 
— 
— 
— 3 
— 24 
— 22 
24 
— 
19 
— 
98