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Man leitet daraus die Auflösung der Elementaraufgaben 
ab: Eine gegebene Gerade zu halbiren. 
In einem gegebenen Punkte auf einer Geraden 
ein Perpendikel zu errichten. 
Von einem Punkte außerhalb einer gegebenen 
Geraden auf dieselbe einen Perpendikel zu fällen. 
Ebenso sieht man, daß der Lehrsatz: Jede mit irgend 
einer Seite eines Dreiecks parallel gezogene Gerade theilt die 
beiden andern Seiten proportional, zu folgenden Aufgaben 
Veranlassung gegeben hat: Eine dritte, vierte Propor 
tionale zu zwei, drei gegebenen Linien zu finden; 
ferner, daß der Aufgabe, die mittlere Proportionale 
zwischen zwei Linien zu bestimmen, die Eigenschaft 
der senkrechten Semichorden, der mit dem Durchmesser ver 
glichenen Chorden, oder endlich die Eigenschaft der Tangenten 
und Sekanten, welche von demselben äußeren Punkte an einen 
gegebenen Kreis gezogen werden, zu Grunde liegt. 
8. 31. Als letztes Beispiel wollen wir die Eigenschaft der 
Segmente noch einmal betrachten, welche auf einer Seite eines 
Dreiecks durch die Gerade abgeschnitten werden, die den gegen 
überliegenden Winkel halbirt. 
Es sei LI die Ge 
rade (Fig. 21), welche 
den Winkel ABC hal 
birt ; wenn man nun 
durch den Punkt C, 
CE || BI zieht, so hat 
man wegen der Pa 
rallelen 
AI : IG = AB : BE; 
da jedoch das BEC gleichschenklig ist und somit BE — BC 
ist; so folgt 
AI : IC = AB : BC; 
demnach sind die Segmente den Seiten proportional und die 
Entfernungen des Punktes I von den Punkten A und C stehen