* Frage 58. Wie kann man die Grösse 
der von einer Ellipse eingeschlossenen 
Fläche, aufgefasst als Projektion einer 
Kreisfläche, ermitteln? 
Erkl. 170. Ans nebenstehender Antwort folgt 
der Satz: 
„Der Flächeninhalt einer Ellipse ist 
gleich dem 7i-fachen (3,14-fachen) Pro 
dukt der beiden Halbachsen.“ 
*Erkl. 171. Umschreibt man einem Kreise 
K ein Quadrat, so ist dessen Inhalt F gleich 
4X* -2 nnd dieser Inhalt ändert sich mit der 
Lage des Quadrates nicht. Die Projektion des 
Quadrates ist aber entweder ein der Ellipse 
K umschriebenes Rechteck, dessen Seiten 
zu den Achsen parallel laufen, oder aber ein 
der Ellipse K x umschriebenes Parallelo 
gramm, dessen Seiten zu zweien conjugier- 
ten Durchmessern parallel laufen. Sein In 
halt sei F v 
ZwischenFundF, besteht nun die Beziehung: 
F x = F X cos W x 
31) ... = 4 X ?* 2 X cos TU, = constant. 
Antwort. Ist, siehe Figur 96, eine 
Ellipse K x die Projektion eines Kreises K, 
so besteht, siehe die Antwort auf die Frage 
38, zwischen dem Flächeninhalte F des 
Kreises K und jenem F x der Ellipse K x der 
Zusammenhang: 
28) ... F % = UXcosTF - ! 
dabei bezeichnet JFj den Winkel zwischen 
Kreis- und Ellipsenebene. 
Nun ist aber bekanntlich der Flächen 
inhalt eines Kreises vom Halbmesser r: 
28 a) . . . F — r 2 X Tr 
wobei Ti die Ludolphische Zahl = 3,14159 • • •, 
abgekürzt = 3,14 bezeichnet (siehe Kleyers 
Lehrbuch der Planimetrie). 
In Rücksicht auf Gleichung 28 a) geht 
Gleichung 28) über in: 
F x — r 2 X Ti X cos W x 
29) . . . = r X r X cos Wj X Tr 
Ueber einige weitere Eigenschaften der Ellipse. 
zu ab bis zum Schnitt mit N, so liegt Je auf 
dem Kreise siehe Erkl. 156, denn die Drei 
ecke flce und e'e'i sind kongruent (sie haben 
die Seite ef — e'i sowie die Winkel bei f und e 
bezw. e‘ und i gleich), daher ist auch eh = ei, 
folglich liegt h auf dem Kreise K““, d. h. die 
Strecke mk ist gleich der Strecke gf = « — ß, 
siehe Erkl. 156; die vier Punkte m, f, k und g 
bilden somit die Ecken eines Reckteckes; dem 
gemäss erhält man folgende direkte Normalen 
konstruktion : 
Für eine beliebige Lage des Strahles 
ge, siehe Figur 126, ziehe durch die Punkte 
)f und g Parallele zu den Achsen, so 
schneiden sich diese in einem Punkte k 
der Normalen für den Ellipsenpunkt e. 
Erkl. 169. Ein Apparat, mittels welchem 
man eine Ellipse auf die in der Antwort auf 
die Frage 57 beschriebene Weise erzeugen kann, 
heisst ein Ellipsenzirkel (Ellipsograph), 
siehe Figur 127. Er besteht aus zweien in 
fester Verbindung und auf einander senk 
recht stehenden mit Nuten versehenen 
Leisten Ä und B. Eine dritte Leiste C, 
auf welcher sich zwei verstellbare 
Schrauben f und g befinden, bewegt sich 
so, dass die Bolzen der Schrauben unter 
sich gleichen Abstand behaltend, in den 
Nuten der Leisten A und B fortrücken. 
Das mit einem Schreibstift versehene 
Ende e der Leiste Cbeschreibt die Ellipse. 
Soll der Apparat zum Zeichnen einer Ellipse 
verwendet werden, so bringt man die Leisten A 
und B über die Achsen der zu zeichnenden 
Ellipse, macht die Entfernungen eg und e f gleich 
der grossen bezw. kleinen Halbachse, zieht 
die Schrauben f und g fest an und führt die 
oben beschriebene Bewegung aus. 
Figur 127.