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lieber die rechtwinklige Projektion auf eine Pr. Eb. 
Bezeichnen a und ß die Halbachsen, a und b 
zwei conjugierte, unter dem Winkel w zu ein 
ander geneigte Halbmesser der Ellipse, so ist 
entweder: 
F 1 = 4 X « X ß = 4 X r 2 X cos W x 
oder: 
F i — 4 X a X & X sin«’ = 4 X r- X cos W x 
d. h. es findet die Gleichheit statt: 
32) . . . « x ß = « X & X sinw 
Erkl. 172. In der Erkl. 171 sind folgende 
Sätze enthalten: 
„Die Inhalte aller einer Ellipse um 
beschriebenen Parallelogramme sind 
fläcliengleich und gleich dem Produkte 
der beiden Hauptachsen.“ 
Oder anders ausgedrückt: 
„Das Produkt aus zweien conjugier- 
ten Halbmessern multipliziert mit dem 
Sinus des eingeschlossenen Winkels ist 
stets gleich dem Produkt der beiden 
Halbachsen.“ 
Sind nun die Halbachsen der Ellipse J\\ 
mit a und ß bezeichnet, so ist bekanntlich 
a = r und ß = rXcosTHj, daher kann man 
die Gleichung 29) auch so schreiben: 
30) ... X = «x/JX?r = 3.14X«X/ 5 
Erkl. 173. In ähnlicher Weise liesse sich 
auch zeigen, dass die Inhalte aller einer Ellipse 
einbeschriebenen Parallelogramme flächen 
gleich und gleich dem doppelten Pro 
dukte der beiden Halbachsen sind. 
Anmerkung 8. Weitere Eigenschaften der Ellipse, namentlich jene, welche sich auf die 
Brennpunkte beziehen, folgen später. 
h) Gelöste Aufgaben. 
Aufgabe 71. Von einer Ellipse K v siehe 
Figur 128, kennt man zwei Tangenten 
T und T 0 mit ihren Berührpunkten e 
und/) sowie die Richtung A des durch 
den einen Berührpunkt e gehenden 
Durchmessers eg. 
Man soll die Ellipse zeichnen. 
Figur 128. 
Erkl. 174. Dass die Verbindungslinie sh 
durch den Mittelpunkt m gehen muss, ist leicht 
einzusehen. Denn zieht man in einem Kreise 
durch den Schnittpunkt zweier Tangenten eine 
Gerade nach dem Mittelpunkt der Berührsehne, 
so geht diese Verbindungslinie nach dem Kreis 
mittelpunkte. Wird nun das ganze Liniensystem 
rechtwinklig auf eine Ebene projiziert, so gibt 
die Projektion des Halbierpunktes der Kreis- 
sebne den Halbierpunkt der Ellipsensehne, siehe 
Erkl. 51, und seine Verbindungslinie mit dem 
Tangentenschnittpunkt geht durch den Ellipsen- 
mittelpunkt. 
Auflösung. Verbindet man den Schnitt 
punkt s beider Tangenten T und T 0 , siehe 
Figur 128, mit dem Halbierpunkte h der Be 
rührsehne ef, so geht diese Verbindungslinie 
durch den Mittelpunkt m der Ellipse, siehe 
Erkl. 174. Die durch den Berührpunkt e 
zur gegebenen Richtung A gezogene Paral 
lele trifft daher die Verbindungslinie ks in 
dem Ellipsenmittelpunkte m. Zieht man nun 
durch m eine Parallele zur Tangente T, so 
stellt dieselbe die Lage des zum Durchmesser 
eg conjugierten Durchmessers dar, dessen 
Länge nun wie in Aufgabe 69 gezeigt wurde, 
konstruiert werden kann. Die weitere Kon 
struktion bleibt wie in Antwort auf die 
Frage 54.