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Ueber die rechtwinklige Projektion auf mehrere Pr. Ebn.
Sparen der gesuchten Ebenen verteilt sind.
Durch jede dieser Linien gehen zwei Ebenen,
berührend an die drei Kugeln.
Zur Bestimmung der Berührpunkte, z. B.
der durch S x gehenden Ebenen, zeichne man
durch a x die Senkrechte a x a zu S x und
durch a eine Tangente an K, welche in x“
berührt; die Projektion des letzteren Punktes
auf aa gibt in x x die erste Projektion des
Berührpunktes einer durch S x an die Kugel K
gehenden Berülirebene. Mit x x fällt zusam
men ein Punkt x x als erste Projektion eines
Berührpunktes x‘ von gleichem aber entgegen
gesetztem Abstand von E x wie der Punkt x,
welcher einer zweiten durch S x an die Kugel
K möglichen Berührebene angehört.
Die ersten Projektionen der Berührpunkte
genannter Ebenen mit den Kugeln K‘ und K“
liegen auf den Senkrechten durch b x und c x zu
S v sowie auf den Verbindungslinien x x q v y x u x
und x x s x bezw. Die zweiten Projektionen
ermitteln sich entsprechend.
In gleicher Weise bestimmen sich auch
die Berührpunkte der durch die Geraden S x ,
S“ und S x in gehenden Ebenen mit den Kugeln.
Im allgemeinen gibt es im ganzen acht Ebe
nen der verlangten Art.
In welchen Fällen vermindert sich die Zahl
der möglichen Ebenen?
Auflösung b. Die gesuchten Ebenen sind
bestimmt durch die Halbierpunkte der Kanten
t?.«i.t ■ cu „ . „ —r des durch die Punkte a, b, c. d festgelegten
in einem Punkte m, so kann derselbe als innerer Tetiaedeis und zvyai gehen je. \ 1er Ebenen
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Erkl. 266. Die in Auflösung a. bezeich-
neten Teilungspunkte p x , q x , r,, s x , f,, u x füh
ren als Schnittpunkte gemeinsamer Tangenten
von je zwei Kreisen auch die Bezeichnung
„Aehnlichkeitspunkte“ und zwar deshalb,
weil die durch sie gezogenen Strahlen auf den
zugehörigen Kreisen Punkte so ausschneiden,
dass die Verbindungslinien der Schnittpunkte
entsprechender Strahlen zu einander parallel
laufen, und in beiden Kreisen ähnliche Figu
ren bestimmen. Für die äusseren Aebnlichkeits-
punkte sind diese Figuren überdies noch ähn
lich liegend, siehe Erkl. 267.
Erkl. 267. Zwei ähnliche Figuren liegeil
ähnlich, wenn die durch den Aelmlichkeitspunkt
gezogenen Strahlen beide Figuren so treffen,
dass die Aufeinanderfolge dieser Schnittpunkte
in beiden Figuren im gleichen Sinne erfolgt.
Teilungspunkt der Strecke ab im Verhältnis
gelten, der äussere Teilungspunkt liegt in un
endlicher Ferne. Die vier zu den Tetraeder
kanten gehörigen äusseren Teilungspunkte be
finden sich nun auf einer Ebene in unendlicher
Ferne.
1) Ebene m adt bd, sie läuft parallel zur
2)
3) ,
4) r
5) ,,
6) ,,
7) ,
8) die
Mlae, bc, de, y
111 ab, cb, db, ••
mha, ca, da, y
l^cd, db, ab, ac,
^a hc, ad, cd,
Wae, bc, ad, bd,
unendlich ferne
parallel zu den Seitenflächen, je drei parallel
zu zweien gegenüberliegenden, windschiefen
Kanten des Tetraeders. Es sind somit sieben
Ebenen der verlangten Art vorhanden, wozu
noch als achte Ebene die unendlich ferne
Ebene hinzuzurechnen ist, siehe Erkl. 268.
Bezeichnet man die Mittelpunkte der acht
Tetraederkanten mit m a b, m ac etc., so sind
die im Endlichen vorhandenen Ebenen wie
folgt gebildet:
Ebene abc und geht durch die Mittelpunkte
abd der Kanten ad, bd, \cA s
' acd
,. bed
sie läuft parallel zu den Kanten ad und bc
„ ,, ,, ,. „ „ ac und bd
,, ab und cd
Ebene.
Die acht Halbierpunkte der Tetraeder
kanten bilden die Ecken eines Achtfläch
ners (Oktaeders), siehe Erkl. 269, in
welchem die unter 1) bis 4) genannten