Gelöste Aufgaben. 
Aufgabe 4. Von einer Geraden a b kennt 
man ihre Projektion a x b x sowie die Abstände 
der Punkte a = -j- 50 mm und b — -j- 20 mm; 
man soll die Projektion c x eines Punktes c 
der Geraden ab, dessen Abstand = —{— 35mm 
beträgt, konstruieren. 
Figur 32. 
SOoSf 
, 
c"- 
30-i- 
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0 + 20 
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-I/O 
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' £ 
()— 
CH 
0 10 10 30 itO S\0 
60 70 80 90 100 wrn 
M=l: 
2. E 
Aufgabe 5. Von einer Geraden kennt 
man einen Punkt a durch seine Projektion 
a x und seinen Abstand a x a‘ von der Pr. Eb., 
sowie ihren Neigungswinkel w x mit der 
letzteren; es ist die Projektion der Geraden 
zu zeichnen. 
Figur 33. 
Auflösung. Errichte in den Punkten a x 
und b x zu a x b x , siehe Figur 32, Senkrechte 
a \ a> — + 50 mm und b x b‘ = -f- 25 mm und 
verbinde a!b‘. Trage ausserdem auf der 
Senkrechten a x a! von a x aus die Strecke 
a x c“ = —J— 85 mm auf und ziehe durch c" 
eine Parallele zu a x b x bis zum Schnitt c‘ 
mit a‘b‘\ die durch c‘ zu a x b x gezogene 
Senkrechte trifft a x b x in der gesuchten 
Projektion c x des Punktes c, denn es be 
zeichnet nach Erkl. 50 die Strecke c x c‘ den 
Abstand des Punktes c von der Pr. Eb. und 
da zufolge der Konstruktion c x c‘ = a x c“ = 
-[- 35 mm gemacht wurde, so hat der Punkt 
c den gegebenen Abstand von der Pr. Eb. 
Erkl. 59. Aus nebenstehender Auflösung 
folgen die Sätze: 
„Durch einen Punkt im Raume gibt 
es unendlich viele Gerade, welche mit 
der Pr.Eb. einen vorgegebenen Winkel w x 
einschliessen; sie bilden die Mantel 
linien eines senkrechten Kreiskegels, 
dessen Achse mit der durch den gege 
benen Punkt gezogenen Projizierenden 
zusammenfällt.“ 
„Die Spuren aller durch den Punkt a 
gehenden u. zur Pr. Eb. unter dem Winkel 
w x geneigten Geraden liegen auf einem 
Kreise mit dem Mittelpunkt a x , der als 
Halbmesser die zweite Kathete eines 
rechtwinkligen Dreiecks hat, das aus 
Auflösung. Trägt man an die Strecke 
a x a im Punkte a‘ den Winkel 90° — w 
an, so trifft dessen zweiter Winkelschenkel 
die auf a x a‘ in a x errichtete Senkrechte in 
einem Punkt .s; denkt man sich nun das 
Dreieck a x a‘s um die Kathete so lange 
gedreht, bis seine Ebene zur Pr. Eb. senk 
recht steht, so bildet seine Hypotenuse offen 
bar mit der Pr. Eb. den 'Winkel w x , ist so 
mit eine Gerade der verlangten Art und a x s 
ist ihre Projektion. Nun lässt sich aber 
das räumliche Dreieck aa x s um die Kathete 
a x a drehen und in jeder Lage bildet die 
Hjrpotenuse eine Gerade der verlangten Art. 
Die Hypotenusen in den verschiedenen Drei 
eckslagen bilden aber die Mantellinien eines 
senkrechten Kreiskegels, d. i. eines Dre- 
hungs- oder Rotationskegels, dessen 
Achse mit der Projizierenden aa x zusammen 
fällt.