Ueber die Bestimmung der wahren Gestalt einer ebenen Figur. 
Figur 46. 
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Frage 34. Wie wird die Umlegung 
einer ebenen Figur in die Projektions- 
Zeichnung ausgeführt ? 
Erkl. 98. Denkt man sich, siehe Figur 46, 
die Projektionen der Vierecksseiten bis zu ihrem 
Schnitt mit der Sprir S verlängert, so erleiden 
durch die Drehung der Vierecksebene diese 
Schnittpunkte s, t, u, v keine Veränderung ihrer 
Lage; es müssen demnach durch sie auch die 
Verlängerungen der Umlegungen der Vierecks 
seiten hindurchgehen, woraus folgt, dass die 
Linien a 1 b 1 und a“b‘\ b x c y und &"c", c x d x und 
c“ d‘\ d x a x und d“a" sich in Punkten s, t, u, v 
der Geraden S schneiden. Da ausserdem die 
Punkte a x und b x und b“, c x und c", d x 
und d“ auf parallelen Strahlen liegen, s o 
stehen Projektion und Umlegung einer 
ebenen Figur in einem eigentümlichen 
Zusammenhänge, der dadurch charak 
terisiert ist, dass den Punkten der 
einen Figur gewisse Punkte der an 
dern Figur so zu geteilt sind, dass 
entsprechende Punkte auf parallelen 
Strahlen liegen, und ausserdem je 
zwei Punkte dereinenFigur e i n e G e - 
rade liefern, der in der andern Figur 
gleichfalls eine Gerade so entspricht, 
dass entsprechende Gerade sich in 
Punkten der Spur schneiden. 
Erkl. 94. Den eben genannten Zusammen 
hang nennt man „Affinität“, siehe Erkl. 95, 
und zwei Figuren, welche in diesem Zusammen 
hänge stehen, heissen „affine Figuren.“ 
Die Projektion und die Umlegung 
einer ebenen Figur sind affine 
Figuren. 
Erkl. 95. Das Wort „Affinität“ stammt 
aus dem Lateinischen (affinitas) und heisst Ver 
wandtschaft. affin heisst demnach „verwandt“. 
Erkl. 96. Die konstruktive Bedeutung der 
Affinität ist sofort zu erkennen; denn hat man 
Antwort. Ist, siehe Figur 46, die Pro 
jektion a 1 b 1 c 1 d i eines Vierecks ab cd sowie 
die Spur S der Vierecksebene und ausserdem 
etwa der Abstand a x a‘ des Punktes a von 
der Pr. Eb. gegeben, so ist damit offenbar 
die Lage der Vierecksebene gegen die 
Pr. Eb. vollständig bestimmt; denn ist a x a‘ 
parallel, a x a senkrecht zu S gezogen und 
aa' verbunden, so ist damit das Konstruk 
tionsdreieck a‘ a x a des Punktes a und folg 
lich auch der Winkel W x der Vierecksebene 
ab cd gegeben. Denkt man sich nun die 
Vierecksebene um ihre Spur S so lange ge 
dreht, bis sie mit der Pr. Eb. zusammenfällt, 
so beschreibt der Punkt a, siehe Figur 45, 
nach Erkl. 91 einen Kreis, mit dem Mittel 
punkte a und der Hypotenuse aa' als Halb 
messer. 
Da in ’Wirklichkeit die Linie aa auf der 
Spur S senkrecht steht und diese Lage durch 
die Drehung der Ebene nicht verändert wird, 
so muss auch nach dem Zusammenfallen 
der Vierecksebene mit der Pr. Eb. die Linie 
aa senkrecht zu S bleiben, d. li. entweder 
in die Verlängerung von a x a oder auf 
die Linie a x a selbst fällen. Ist das erstere 
vorausgesetzt, so kommt der Punkt a, siehe 
Figur 46, nach der Umlegung nach a" in 
eine Entfernung gleich der Länge aa', siehe 
Erkl. 91, zu liegen. 
Auf die nämliche Weise können auch die 
Umlegungen der übrigen Eckpunkte des Vier 
ecks, wie z. B. des Punktes d bestimmt 
werden, wodurch sich die Umlegung a“b“ 
c" d" als wahre Gestalt des Vierecks 
ab cd ergibt.