Einige Bemerkungen über den goldenen Schnitt. 
Frage 35. Bei welchem regulären 
Vieleck tritt die Teilung im goldenen 
Schnitt häufig auf? 
Figur 61. 
d 
Erkl. 77. Die Antwort der Frage 35 ent 
hält folgende Sätze: 
,,Zwei Diagonalen eines regulären 
Fünfecks treffen sich stets in einem 
Punkte, der beide Diagonalen im golde 
nen Schnitte teilt.“ 
„Die zu einer Seite gehörige Höhe wird 
von der zur Seite parallelen Diagonale 
stets im goldenen Schnitt geteilt.“ 
„Trägt man auf einer Fünfecksdia 
gonale von einem Endpunkte aus die 
Fünfecksseite ab, so wird hiedurch 
erstere im goldenen Schnitt geteilt.“ 
Erkl. 78. Zufolge der in Erkl. 77 genannten 
Sätze über das reguläre Fünfeck kann man nun 
mehr leicht die Aufgabe lösen: Es ist ein 
reguläres Fünfeck bei bekannter Sei 
tenlänge ohne Zuhilfenahme des um 
schriebenen Kreises zu konstruieren. 
Man braucht ja nur die Fünfecksseite a / , 
gleich l im Punkt,// im goldenen Schnitt 
zu teilen, die Seite ab über b hinaus, um 
die Strecke aq — ap zu verlängern, so ist 
die Länge b q gleich der Fünfecks diagonale. 
Die Kreise mit den Mittelpunkten a. und b und 
den Halbmessern gleich ab und bq enthalten 
die noch fehlenden Ecken c, d und e des re 
gulären Fünfecks über ab. 
Erkl. 79. Verlängert man, siehe Figur 61, 
die Linie dg bis zum Punkte k der Kreisperi 
pherie K, so wird a k gleich der Seite des dem 
Kreise Ä eingeschriebenen regulären Zehnecks. 
Da nun aber der Winkel amg = 36° beträgt, 
so besteht die Beziehung: 
am a k 
ak am—ak 
d. h. man erhält die Seite des regulären 
Z ehnecks gleich dem grösseren Ab 
schnitt des im goldenen Schnitt ge 
teilten Halbmessers des umbeschrie 
be n e n Kreises K. 
Antwort. Die Teilung im goldenen 
S clinitt tritt häufig beim regulären Fünf 
eck auf. 
Zunächst ist leicht einzusehen, dass je zwei 
Diagonalen wie ad und be, siehe Figur 61, 
sich stets in einem Punkte f so treffen, dass 
in f beide Diagonalen im goldenen 
Schnitt geteilt sind. 
Aus der Aehnlichkeit der Dreiecke abd 
und afb (sie haben die drei Winkel gleich) 
folgt nämlich unmittelbar die Beziehung: 
ad. ab 
ab af 
Nun ist aber auch, wie aus der Figur 61 er 
sichtlich, ab = bf — df, daher hat man auch: 
ad fd 
Jd Ja 
oder : 
£* _ ]>j_ 
t'f ~f 
Zieht man in Figur 61 die zur Seite ab 
gehörige Höhe dg, so trifft diese die zu ab 
parallele Diagonale ec in einem Punkte h, 
der die Höhe dg im goldenen Schnitte 
teilt, denn es ist ja: 
d j d a 
dh di 
Aus der Figur 61 folgt ferner, dass, wenn 
man in einem gleichschenkligen Dreieck, dessen 
Winkel an der Spitze 36° beträgt, die Länge 
der Grundlinie auf einen Schenkel 
ab trägt, dieser durch den zweiten Endpunkt 
der Grundlinie im goldenen Schnitt ge 
teilt wird.