104 lieber die rechtwinklige Projektion der regulären und halbregulären Körper. 
In mehrfacher Weise können nun die noch fehlenden Punkte d 2 ‘“ c 2 ““ a 2 “ b 2 “ er 
mittelt werden. Infolge der bekannten Längen c 2 “" d. 2 ‘“‘ und o 2 “b 2 ‘ gleich l und 
des Umstandes, dass die Punkte a 2 a 2 “, c 2 c 2 “‘, d 2 '“', ebenso c 2 ‘c 2 “, r 2 c 2 “, c 2 “‘ je 
in einer Geraden liegen, ist die Lage der Punkte c 2 ‘“ und d 2 “ bestimmbar. 
Vierte Projektion. Zu ihrer direkten Herstellung beachte man, dass die 
Punkte c 4 ', c“ und o 4 ", siehe Figur 66 a, die Endpunkte eines gleichseitigen Drei 
ecks bilden mit der Länge der Fünfecksdiagonale als Seite. Zeichnet man ferner das 
gleichseitige Dreieck pqr parallel zu den in wahrer Grösse sich darstellenden Kanten 
projektionen, so liegen die beiden Dreiecke c 4 'c 4 "a 4 " und pqr so, dass ihre Seiten 
beziehungsweise parallel laufen, ihre Mittelpunkte sich decken und die Längen 
paralleler Seiten sich verhalten wie die Fünfecksdiagonale zur Fünfecksseite, d. h. ent 
sprechend der Teilung nach dem goldenen Schnitt; in der gleichen Weise verhalten 
sich dann aber auch die Strecken b“p und & 4 "c 4 '. 
Zeichnet man daher zwei gleichseitige Dreiecke mit gemeinsamem 
Mittelpunkte und parallelen Seiten entspre chend der Länge der Dodeka- 
ederkante und der Fünfecksdiago nale, und zieht durch die Ecken dieser 
Dreiecke Parallele zu den nicht durch die betreffenden Ecken gehenden Dreieckshöhen, 
so liegen auf diesen Parallelen (die feinpunktierten Linien der Figur 66a stellen die 
selben dar) die Projektionen der Polyedereckpunkte so verteilt, wie die Figur 66a zeigt. 
Fünfte Projektion. Figur 66b. Zunächst ersieht man, dass in Figur 66 b die 
Abstände der fünften Projektionen der Eckpunkte von der Y'-Achse gleich sind 
den Abständen der zweiten Projektionen der entsprechenden Eckpunkte von der 
Z 0 -Achse. Nun ist aber die Diagonale c 2 ‘“b 2 “ in den Punkten t und u in drei gleiche 
Teile, siehe Erkl. 87, und ausserdem in den beiden äusseren Teilstrecken in den 
Punkten v und w im goldenen Schnitt geteilt, so dass man nunmehr folgende direkte 
Konstruktion der Figur 66b erhält: 
Man mache die Strecke gleich der Länge der Dodekaederdiagonale, siehe 
Erkl. 88, teile sie in drei gleiche Teile und teile überdies noch die beiden äusseren 
Teilstrecken im goldenen Schnitt und ziehe durch die Teilpunkte Parallele zur 
Y'-Achse. Berücksichtigt man nun, dass die Entfernungen der Punkte b b , a b , d b “, cd“, 
von der Mittellinie b“c““ der Figur 66b gleich der Länge der Dodekaeder 
kante, jene der Punkte c ä , o b , d“, b-J“, c b \ a b “, d b “"b b “" gleich der Fünfecks 
diagonale, endlich jene der Punkte d b , ad“, d b , a ““ gleich der halben Summe 
von Dodekaederkante und Fünfecksdiagonale betragen, so kann man offen 
bar mit Hilfe der als gegeben vorausgesetzten Kantenlänge die Projektion des Körpers 
in eine Pr. Eb. parallel zu einer Hauptdiagonale, siehe Antw. der Frage 41, No. 4, 
und einem Kantenpaar, direkt konstruieren. 
Erkl. 87. Dass die Strecke <’¡¡""¿>3" in den 
Punkten t und u in drei gleiche Abschnitte geteilt 
ist, erkennt man wie folgt: Aus der Figur 66 er 
sieht man, dass die Strecken a t a 2 und b 2 “b 2 “ zur 
Strecke a 2 “a“ in dem nämlichen Verhältnis 
stehen, d. h. einander gleich sind. Ausserdem 
ist aber auch die Strecke d t dd = c 2 ‘“c 2 “, 
wodurch die Gleichheit der Strecken c 2 ‘“t, tu 
und ub 2 ‘ bedingt ist; da ferner die Linien 
b t d 2 "" und o 2 ‘c 2 “ parallel zu den Linien c t d 2 
und a 2 “b 2 " sind, so folgt hieraus die Teilung 
der Strecken c 2 "t und b 2 ‘u in den Punkten v 
und w nach dem goldenen Schnitte. 
Erkl. 88. Die Länge der Diagonale c 2 “'b 2 “ 
erhält man aus der Kantenlänge sehr einfach 
als Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks, 
dessen Katheten gleich sind der Kantenlänge 
und der Summe der Kantenlänge und der Fünf 
ecksdiagonale, siehe das rechtwinklige Dreieck 
c 2 ““b 2 “a 2 “ Figur 66, zweite Projektion.