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Ueber die rechtwinklige Proportion des Dreikants.
Erbl. 11. Sollen zwei verschiedene Drei
kante mit den gegebenen Bestimmungs
stücken vorhanden sein, so müssen die Punkte
p, und p 2 ‘, siehe Figur 6, auf dem positiven
Teile von T 2 sich befinden; denn läge etwa
p z ' auf dem negativen Teile von T 2 , so besässe
das dem Punkte p 1 entsprechende Dreikant nicht
den Flächenwinkel B, sondern dessen Ergänzung
zu 180°.
Liegen nun die beiden Punkte p 2 und p 2
über der X-Achse, d. h. auf dem p o s i t i n
Teile von T 2 , so ist stets die Strecke s 2 p 2
oder s 2 p 2 kleiner als die Strecke s 2 q, d. h.
der Punkt q fällt ausserhalb des Kreis es K.
Fällt man von s 2 eine Senkrechte s 2 1) auf 7’,,
so muss, damit ein Punkt p überhaupt
vorhanden ist, stets die Strecke s 2 p\
entweder grösser oder mindestens ebenso
gross seiu als die Strecke s 2 tp
Erbl. 12*. Auf trigonometrischem Wege ist
es leicht, die Bedingungen herzulciten, unter wel
chen die Bestimmungsstücke gegeben sein müssen,
damit Dreikante vorhanden sind. Bezeichnet man
Fall b. Auflösung und Konstrubtion.
Die Projektionsebenen sind wie im Fall
a) zu wählen, siehe Figur 6. Mittels der
Spur B i der Ebene BC und dem Win
kel B ergibt sich die zweite Spur T 2 der
Ebenere, auf welcher die zweite Projektion p 2
des Punktes p der Kante C liegen muss.
Zur Konstruktion von T 2 benützt man
zweckmässig den Punkt s 2 als erste Pro
jektion x t eines Punktes x der Ebene BG und
bestimmt mittels des Konstruktionsdreiecks
x t ?x 2 (xj = x i p') die zweite Projektion x 2
des Punktes x. Ein um s 2 mit dem Halb
messer s 2 p‘ beschriebener Kreis K liefert auf T 2
entweder zwei Punkte p 2 und^> 2 ' oder nur
einen Punkt oder endlich gar keinen
Punkt.
Es giebt höchstens zwei der Form nach von
einander verschiedene Dreikante mit den ge
gebenen Bestimmungsstücken. Zu jedem der
selben gehört ein, bezüglich der Ebene AB
(Pr. Eb. E t ) symmetrisches D r e i k a n t.
nämlich die Strecke s ± s 2 als die Längeneinheit,
so stellen die Strecken s„p‘ und s 2 q die trigono
metrischen Tangenten, siehe Erkl. 109,
I. Teil, der Winkel AC und BC oder
deren Nebenwinkel dar. Damit also der
Punkt q ausserhalb des Kreises K falle,
ist es notwendig, dass tgAZ? j>tg AC sei.
Bezeichnet man ferner mit <p den Win
kel der zweiten Spur 1\ mit der Af-Achse,
so erhält man unmittelbar folgende Be
ziehungen :
Es ist:
—, ——r- , py, sin AC'
s 2 p—s 2 p 2 — s zPi — lgAC = s —
cos A C
siehe Erkl. 110j I. Teil.
Ferner ist:
s 2 q = tg Aß.
und
s 2 i — sin AB.
Desgleichen hat man:
s 2 x 2 = s 2 i‘. tgß = s 2 i
ebenso:
tgB=sinALß.tg#,
s 2 x 2 sin AZ?, tg 7?
s 2 q C ‘ tg AB
Nun ist aber:
tg <P = -
= cos Aß . tg ß
sin <p
cos <p
sin AZ?. tgZ?
sin AB
cos AB
. . . 1)
Figur 6.
• N \
N \
* \\
* \ \
und
sin 2 tp
COS 2 tp
tg 2 cp =
sm 2 tp
1 — sin 2 tp