lieber die rechtwinklige Projektion eines Körpers im allgemeinen. 
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Erkl 23. Nebenstehende Antwort enthält 
folgende Sätze: 
„In jeder rechtwinkligen Projek- 
tion eines Polyeders ist die Zahl 
der sichtbaren (unsichtbaren) Ecken 
und Flächen gleich der Zahl der 
sichtbaren (unsichtbaren) Kanten 
vermehrt um die Einheit.“ 
„In jedem Polyeder ist die Zahl 
der Ecken und Flächen gleich der 
Zahl der Kanten, vermehrt um zwei.“ 
Erkl. 23*. Der in Erkl. 23 zuletzt genannte 
Satz rührt von dem berühmten Mathematiker 
„Euler“ her und heisst der „Euler’ sehe 
Lehrsatz über Polyeder. 
(Siehe auch Kleyers Lehrbuch der Körperberechnungen, 
erstes Buch, Frage 14 und Erkl. 11 a.) 
Erkl. 24. ■. Soll ein Polyeder mit e Ecken, 
f Flächen und k Kanten durch seine Projek 
tionen auf die Pr. Ebn. E t und E 2 dargestellt 
werden, so sind zur Zeichnung eine gewisse 
Anzahl von Bestimmungsstücken notwendig. 
die doppelte Seitenzahl der innerhalb des 
Umrisses sichtbaren Kanten, d. i. (k i — n). 2 
hinzufügt, so dass die folgende Gleichheit 
besteht: 
x,+x^x 3 +. -.x p — n-\-(h v -n). 2 = 2k l — n.. .13) 
Nun beträgt aber die Winkelsumme in 
einem Vielecke n t von der Seitenzahl x l 
(x i — 2). 180°, siehe Erkl 22, somit ist die 
Summe aller Winkel in sämtlichen Vielecken 
bis n r : 
180°. (x l ■+■ x 2 + x 3 + . . . X p 2 f t ) 
oder in Kücksicht auf Gleichung 13 : 
180°. (2fr t — n — 2f v ) . . 14) 
Genannte Winkelsumme erhält man aber 
auch als Summe der Winkel des Umriss 
vielecks n, wozu noch die Summe der um die 
innerhalb des Umrisses liegenden e t — n Ecken 
herumliegenden Winkel hinzuzurechnen ist. 
Für diese Summen findet man: 
180°. (n — 2) + K — n). 360" . . 15) 
Durch Gleichsetzen der Beziehungen 14 und 15 
ergibt sich die weitere Gleichheit: 
180°. (n- 2)+(e t -») .2.180°=180°. (2k-n-2f i ) 
oder: 
n — 2 + 2e t — 2 n = 2k x — n — 2f t 
e, — l= k t — /; 
+ fi = + 1 • • 16) 
Sind in gleicher Weise durch /* tl , e tl undfc lt 
die Anzahl der unsichtbaren Flächen-, 
Ecken- und Kantenprojektionen be 
zeichnet, so ergibt sich durch eine ähnliche 
Untersuchung, wie die eben geführte, die 
weitere Beziehung: 
e n + fu = + 1 • • 17) 
Durch Addition der Beziehungen 16 und 17 
gewinnt man endlich die Gleichheit: 
e i + e it +/n 4- f it == t + 2 
oder: 
6 + f = k -p 2 . • 18) 
wenn durch e, f und k die Anzahl der Ecken, 
Flächen und Kanten eines Polyeders be 
zeichnet werden. 
Die Beziehungen 16, 17 und 18 können als 
Sätze wie in nebenstehender Erkl. 23 an 
gegeben, ausgedrückt werden.