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Ueber die rechtwinklige Projektion von Körpern.
d) Ueber die Zahl der Bestimmungsstücke zur Darstellung der Projektionen
eines Polyeders.
Frage 8. Wie gross ist die Anzahl
der Bes timmungsstücke zur Darstellung
eines Polyeders von e Ecken, f Flächen und
k Kanten?
Antwort. Zur Bestimmung der Lage eines
Punktes im Raume gegen die drei Pr. Ebn.
, Ej und E, sind bekanntlich seine drei
nannten Zahl der Bestimmungsstücke n 1? näm
lich die Abstände der Punkte von der
Pr. Eb. E i weg, so dass noch 3 e — n l Be
stimmungsstücke übrig bleiben. Will man
überdies nur die Lage der Eckpunkte des
Polyeders gegen die Pr. Ebn. E 1 und E 2
feststellen, so kann die eben angegebene Zahl
noch um drei vermindert werden, sie beträgt
sonach nur noch 3 e — n y — 3. Sie ist aber
immer noch zu hoch gegriffen, denn die nicht
in der Pr. Eb. E i befindlichen Punkte dürfen
ja nicht beliebig im Raume liegen, sondern
sollen in Gruppen von n 2 , n 3 . . . n^- Punkten
je in einer Begrenzungsfläche des Polyeders
vereinigt sein. Es dürfen daher von den Ecken
dieser Vielecke nur drei durch drei, die übrigen
aber nur durch zwei ihrer Coordinateli ge
geben sein. Somit kommen für jedes Be
grenzungsvieleck mit n Seiten n — 3 Stücke
in Abzug, so dass man als wirkliche Anzahl
von Bestimmungsstücken für die Darstellung
des Polyeders erhält:
3 e - — 3 — (n 2 — 3) — (w 3 — 3) - ... (n f —3)
welcher Ausdruck zunächst in folgenden über
geführt werden kann:
3e — 3 — (n 1 +n 2 +n,+ ... n f ) + (f— 1).3
da der Faktor 3 (/*—1) mal auftritt.
Nun ist aber:
(n i + n 2 + + . . . Uj) = 2k
daher geht die obige Gleichung über in
folgende:
und mit Rücksicht auf Gleichung 18 in:
3.(k+2)-2k-6 = 3k+6-2.k-6 = k . . 19)
Erkl. 25. Aus nebenstehender Antwort folgt Coordinateli, d. h. drei Bestimm ungs-
JV
zur I
e E_cl
gleicn ucr Mietili UCl immou Ul/o i Uijvuiio,
also gleich k. u
der Satz :
stücke notwendig und ausreichend, somit
Pr. Eb. E l -liegen, und diese Bestimmung
darf gemacht werden, so fallen von der ge-
3e — 3 — 2k+ 3f—3
oder :
S.(e + f) — 2k — 6
