Ueber. die harmonische Teilung. Harmonische Gebilde. 
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Punkten zu bildenden Doppelverhältnisse noch 
annehmen können, siehe Gleichung 37, 
1 
m 
54) 
1 — m = + 2 
1 _ , 1 
1 — m 2 
1 —m 
m 
= + 2 
55) 
hä 11nis den Wert gleich — 1 besitzt, 
auf einer Geraden so verteilt sind, 
dass je zwei zusammengehörige Punkte 
wie a und b, die von dem anderen Paar 
zusammengehöriger Punkte c und d 
gebildete Strecke in dem nämlichen 
Verhältnis teilen. 
Betrachtet man die Gleichung {AB, CD) 
= — 1 etwas näher, so lässt sich dieselbe 
auch so schreiben: 
Gleichung 54 sagt, dass wenn man in 
vier harmonischen Punkten die Punkte 
eines zusammengehörigen Punkt 
paares oder die Punkte eines Punkt 
paares und hierauf die Punktpaare 
selbst vertauscht, so bleiben die 
Punkte in ihrer neuen Aufeinander 
folge stets harmonisch. 
Gleichung 55 sagt, dass wenn ein 
Doppelverhältnis von vier Punkten 
den Wert — oder 2 besitzt, die vier 
Punkte in einer bestimmten anderen 
Aufeinanderfolge stets vier har 
monische Punkte bilden.“ 
Das eben Gesagte gilt in entsprechender Weise 
auch für vier harmonische Strahlen oder Ebenen. 
Erkl. 117. Die übrigen Werte, welche aus 
dem Werte in = 1, mit Bezugnahme auf 
Gleichung 37 entspringen, sind: 
1 — m — 1 — l = o 
1 1 
m 1 = 0 
in— 1 0 
53) 
In Rücksicht auf die Gleichungen 51 und 53 
kann man daher die Sätze aussprechen: 
„Wenn ein Doppelverhältnis von vier 
Punkten, Strahlen oder Ebenen einen 
Wert gleich der positiven Einheit oder 
gleich Null oder endlich gleich Un 
endlich besitzt, so fallen von den vier 
Elementen immer je zwei zusammenge 
hörige Elemente zusammen.“ 
„Wenn von vier Punkten, Strahlen 
oderEbenenje zwei zusammengehörige 
Elemente zusammenfallen, so ist der 
Wert der zwischen ihnen möglichen 
Doppelverhältnisse gleich + 1, o oder co. 
sin AC 
sin BC _ 
sin AD 
sin B*D 
oder 
sin AC sin AD sin DA 
sin BC sin BD sin BD 
. .49) 
In gleicher Weise erhielte man auch 
(® ß, Y 8) = - 1 
oder 
sin «y 
sin ßT _ _ 1 
sin a3 
sin ¡35 
oder 
sin aY sin ao sin oa 
sin ß y sin ß3 sin ß5 
d. h. vier Strahlen eines Strahlbüschels 
oder vier Ebenen eines Ebenenbüschels, 
bei welchen das zwischen den Sinusen der 
Winkel zusammengehöriger Strahlen oder 
Ebenen gebildete Doppel Verhältnis 
den Wert gleich der negativen Ein 
heit besitzt, liegen so, dass je zwei zu 
sammengehörige Strahlen oder Ebenen 
den von dem anderen Paar zusammen 
gehöriger Strahlen oder Ebenen ge 
bildeten Winkel in dem nämlichen 
Verhältnis teilen. 
Ein Doppelverhältnis kann insbesondere 
einen Wert gleich der positiven Einheit 
besitzen; man erhält in diesem Palle die 
Gleichung 
{ab, cd) — {AB, CD) — (aß, y^) = + 1 . . 51) 
Betrachtet man zunächst die Gleichung 
{ab, cd) = + 1 etwas näher, so kann man 
dieselbe auch so schreiben: