Bewegt sich die innere Halbierungslinie 
oder Eb ene von vier liarmo ni sehen St rahlen 
oder Ebenen gegen einen der beiden den 
Winkel bildenden Strahlen, bezw. gegen eine 
der beiden den Winkel bildenden Ebenen hin, 
so nähert sich auch die äussere Halbierende 
dem gleichen Strahle bezw. der gleichen 
Ebene und fällt damit zusammen, so 
bald die innere Halbierende damit zu 
sammenfällt. 
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Frage 66. Wie konstruiert man zu dreien 
gegebenen Strahlen oder Ebenen das 
vierte harmonische Element? Antwort. Man schneide die Strahlen 
bezw. die Ebenen durch eine beliebige nicht 
durch den Mittelpunkt bezw. die Achse 
gehende Gerade, erhält hierdurch auf letzterer 
drei Punkte, zu welchen man, wie in Ant 
wort der Frage 65, den vierten harmo 
nischen Punkt konstruiert. 
Durch ihn geht der vierte harmonische 
Strahl bezw. die vierte harmonische 
Ebene zu den gegebenen dreien Strahlen 
oder Ebenen. 
Frage 67. Lässt sich mit Bezugnahme 
auf die Erld. 115 die in Antwort der Frage 65 
gelöste Aufgabe nicht noch in anderer Weise 
lösen ? 
El'kl. 123. Die Figur a'b'c'd', siehe Figur 118, 
kann in doppelter Weise aufgefasst werden, näm 
lich als ein einfachesViereck, gebildet durch 
die Verbindung von vier Punkten, oder als 
ein einfaches Vierseit, gebildet durch den 
Schnitt von vier Geraden. Im ersten Falle 
ist ausser der Verbindung a/b\ b'c', c‘ cl‘ und 
d. a‘ auch noch die Verbindung von a' & und 
b‘c‘ möglich, im zweiten Falle schneiden sich 
die vier Geraden a‘b\ b'c', c'd‘ und d‘a‘ ausser 
in den vier Punkten a, b‘, c', d‘ noch in zweien 
weiteren Punkten oJ und ß'. 
Nimmt man die eben genannten Ver 
bindungslinien bezw. Schnittpunkt als 
zur Figur gehörig an, so erhält man im 
ersten Falle ein vollständiges Viereck mit 
vier Ecken a‘, b', c‘, d‘ und sechs Seiten 
o‘b‘, d‘c‘, a‘d‘, b'c', n'& und b'c', im zweiten 
Falle ein vollständiges Vierseit mit 
vier Seiten a'b', b'c', c'd‘, d‘a‘ und sechs 
cken o', c', //, d‘ und a', ß'. 
Antwort. Denkt man sich in dem Quadrate 
ab cd, siehe Figur 117, die beiden Diago 
nalen ac und bd, sowie durch deren Schnitt 
punkt y nach den Mittelpunkten a und b der 
Figur 117. 
Seiten b c und a b gezogen, so bilden zunächst 
die Diagonalen und die zuletzt genannten 
durch y zu den Quadratseiten gezogenen 
Parallelen in Rücksicht auf die Erkl. 122 
vier harmonische Strahlen, desgleichen