Konstruktion harmonischer Gebilde. 
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Erkl. 124. In einem vollständigen 
Viereck oder Vierseit unterscheidet man 
drei Paar Gegenseiten bezw. drei Paar 
Gegenecken; erstere sind die nicht auf 
einander folgenden Seiten a‘b‘ und d! c‘, a‘d‘ 
und b‘ & und a‘ c‘ und b‘&, sie schneiden sich 
in dreien Punkten a', ß', den Diagonal- 
Schnittpunkten. Die Verbindungslinien 
a'ß', und ß'V der letzteren Punkte sind 
die Diagonalen des Vierecks. 
„Ein vollständiges Viereck be 
sitzt vier Ecken, sechs Seiten und 
drei Diagonalschnittpunkt e.“ 
Entsprechend erhält man im vollständigen 
Vierseit die Punkte <P, c‘, ebenso b\ d', 
endlich c/.\ ß' als Gegenecken deren Ver 
bindungslinien o‘c', b‘d\ a'ß' die Diagonal 
linien des Vierseits ergeben: 
„Ein vollständiges Vierseit be 
sitzt vier Seiten, sechs Ecken und 
drei D i a g o n a 11 i n i e n.“ 
auch die Endpunkte der Quadratseiten mit 
ihren Mittelpunkten und den unendlich fernen 
Punkten * und ß je vier harmonische 
Punkte. Es sind somit in der Figur 117 die 
Punkte a, b, b, ß, d, c, b, a, 6, c, a, ß, a, 
d, c, ß je vier harmonische Punkte. 
Denkt man sich nun das Quadrat ab c d 
central in eine Ebene projiziert, so erhält 
man als Centralprojektion ein Viereck a'b'c'd 1 , 
siehe Figur 118, in welchen die gegenüber 
liegenden Seiten nicht mehr parallel sein 
werden, sondern sich in Punkten a‘, ß' treffen. 
Da nun aber durch eine centrale Projek 
tion die harmonische Teilung nicht 
geändert wird, siehe Erkl. 118, so sind 
auch die Punkte a'&'b'a', cü'c'b'«', 6'c'a'ß' 
unda'd'c'ß' je vier harmonische Punkte, 
desgleichen bilden die beiden Diagonalen im 
Verein mit den durch ihren Schnittpunkt nach 
Figur 118. 
Figur 119. 
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Erkl. 125. Das Dreieck a'ß'f' heisst das 
Diagonalen dr eieck des vollständigen 
Vierecks, die drei Geraden u'c', b'd‘ 
und cj.‘ ß y bilden das Diagonalend reiseit 
des vollständigen Dreiseits. 
Wie viele einfache Vierecke, bezw. Vierseiten 
lassen sich aus einem vollständigen Viereck bezw. 
Vierseit herstellen ? 
Erkl. 126. In Rücksicht auf die eben 
vorausgegangenen Erklärungen 123—125 lässt 
das in Antwort der Frage 67 Entwickelte in 
folgenden Sätzen kleiden: 
„In einem vollständigen Viereck 
bilden je zwei Ecken mit den auf ihrer 
Verbindungslinie liegenden Durch 
schnittspunkten der Diagonalen stets 
vier harmonische Punkt e.“ 
„In einem vollständigen Viereck 
bilden je zwei Seiten mit den durch 
ihren Schnittpunkt g e h e n d e n Dia 
gonalen stets vier harmonische 
Strahle n.“ 
Die gleichen Sätze haben auch für das voll 
ständige Vierseit Gültigkeit. 
den Schnittpunkten gegenüberliegender Seiten 
gezogenen Verbindungslinien je vier har 
monische Strahlen, siehe Erkl. 123. 
Auf Grund des eben Gesagten und im Hin 
blick auf die Erkl. 123—126 gewinnt man 
folgende Konstruktion des vierten harmonischen 
Punktes d zu dreien gegeben Punkten a, b, c, 
siehe Figur 119. Man ziehe durch c eine 
beliebige Gerade, wähle auf ihr zwei 
Punkte p und q willkürlich, welch jeder 
mit a und b zu verbinden ist. Genannte Ver 
bindung liefert die Punkte e /', deren Ver 
bindungslinie den Punkt d als vierten 
harmonischen Punkt zu den Punkten a, 
b, c enthält, dabei sind a, b und c, d je ein 
conjugiertes Punktpaar. 
Sind dagegen drei Strahlen qa, qp, qb 
gegeben, siehe Figur 119, zu welcher der 
vierte harmonische Strahl qd zu kon 
struieren ist, so ziehe die man Gerade ab ganz 
beliebig und verbinde deren Schnittpunkte a 
und b mit einem willkürlich auf qc ge-