Besondere Fälle der Projektivität der Gebilde der ersten Stufe. 
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Antworten der 
raten Konstruk- 
rojektivität 
ersten Stufe 
t, sobald man 
nen Gebildes 
ren Gebildes 
gibt dann zu 
einen Gebildes 
nt des anderen 
;r Lage, welch 
Antworten der 
nstruktionen zu 
rsten Stufe. 
q und r‘ die unendlich fernen Punkte der 
Träger, so findet, im Falle der Projektivität die 
Beziehung statt: 
(ab, cq) = (a'b', cV) ... 59) 
oder 
ac a‘ c‘ 
b c // c‘ 
aq cl‘ r‘ 
bq b‘ r‘ 
Nun ist aber 
a q a‘ r‘ 
b q b‘ r‘ 
daher auch 
. ac - — q ' c '~ .... CO) 
b c b‘ c' 
und folglich sind in Rücksicht auf Gleichung 58 
die Punktreihen ähnlich. 
d. li. zwischen den entsprechenden 
Strecken, begrenzt durch entspre 
chende Punkte beider Punktreihen, 
findet stets Verhältnisgleichheit statt. 
Sind insbeondere sämtliche entsprechende 
Strecken einander gleich, so heissen die 
Punktreihen projektivisch gleich. Dieser 
Fall tritt ein, wenn bei geneigter Lage 
der Träger, die Verbindungslinien 
entsprechender Punkte zur Halbier 
linie des Winkels der Träger senk 
recht stehen, oder bei paralleler Lage 
der Träger, wenn das Pr. C. von bei 
den Trägern gleichweit absteht. 
b) insofern eine besondere Lage haben, 
als die beiden Träger zusammenfallen, 
so dass die Punktreihen auf ein und der 
selben Geraden sich befinden. Man 
nennt sie in diesem Falle zwei projektive 
Punktreihen mit gemeinsamem Träger 
oder zwei aufeinanderliegende Punkt- 
reihe n. 
; i v e Punkt- 
• Lage sich be 
ider das Pr. C. 
:t der Träger 
G' 
Frage 73. Wie kann man sich zwei 
projektive Punktreihen mit gemein 
samem Träger entstanden denken? 
Figur 124. 
If' a' c' r 
Antwort. Denkt man sich die Träger der 
beiden Punktreihen a, b,c ... und a‘, b‘, c‘ ..., 
siehe Figur 124, mit den letzteren aufeinander 
gelegt, so kann dies in zweifacher Weise vor 
genommen werden, nämlich so wie in Figur 124a 
oder so wie in Figur 124 b. In beiden Fällen 
werden die Punkte r und q‘ verschiedene 
Lagen auf dem Träger AA‘ einnehmen, im 
ersten Fall ist aber die Bewegungsrichtung, 
in welcher man von einem Punkte a zum 
nächstfolgenden Punkte b gelangt für ent 
sprechende Punkte in beiden Punktreihen die 
gleiche, im zweiten Fall ist sie eine ent 
gegengesetzte. Man nennt die Punkt 
reihen im ersten Fall gleichlaufend, siehe 
Figur 124a, im zweiten Fall ungleich- 
laufend, siehe Figur 124 b. 
124 b. 
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~G~ T) C <2 F yco 
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in beiden Fällen 
fihen ähnlich. 
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unktreihen, so 
en entsprechen 
statt 
: c'd 1 ... . 58) 
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Erkl. 131. Bei zweien projektiven Punkt 
reihen mit gemeinsamem Träger kann jeder 
Punkt, z. B. p, des Trägers doppelt aufgefasst 
werden, nämlich einmal als Punkt der ersten 
Reihe, dann entspricht ihm ein bestimmter 
Punkt p‘ des Trägers als Punkt der zweiten 
Reihe; in gleicherweise entspricht dem Punkt p 
als Punkt V der zweiten Reihe genommen ein 
ganz bestimmter Punkt t der ersten Reihe 
und es werden im allgemeinen die Punkte p J 
und t auf dem Träger nicht zusammenfallen. 
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Vorstehendes lässt sich in folgendem Satze 
zusammenfassen: 
„Zwei projektive Punktreihen auf 
einem gemeinsamen Träger können 
gleichlaufend oder ungleichlaufend 
sein. Im ersten Fall ist die Be 
wegungsrichtung von aufeinander 
folgenden entsprechenden Punkten 
in beiden Punktreihen die gleiche, im 
zweiten Fall die entgegengesetzte.“