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Ueber die Centralprojektion. 
Frage 74. Gibt es auf dem gemein 
samen Träger zweier projektiven 
Punktreihen auch solche Punkte, in wel 
chen en ts pr e ch e n d ePu n kt e b e i der P u n k t- 
reihen zusammen fallen und wenn ja, 
wie konstruiert man dieselben? 
Figur 125. 
Erkl. 182. Elemente, welche zweien pro- 
jektivischen Gebilden als entsprechende 
Elemente zugleich angehören, heissen Doppel 
elemente dieser Gebilde. Die in der Ant 
wort der Frage genannten, beiden Punktreihen 
angehörigen Punkte heissen somit Doppel 
punkte beider Reihen. Man kann die in der 
eben genannten Antwort ausgesprochenen Sätze 
daher auch so ausdrückcn: 
„Zwei projektive Punktreihen mit 
gemeinsamem Träger besitzen stets 
zwei Doppelpunkte, wenn sie un- 
gleichlaufend sind, dagegen zwei 
Doppelpunkte einen oder keinen Doppel 
punkt, wenn die Punktreihen gleich 
laufend sind und zwar je nachdem 
Antwort. Sind r und q‘ die Gegenpunkte, 
a und a‘ entsprechende Punkte, siehe Figur 125, 
so sind die Punktreihen ungleichlaufend. 
Ist nun im Punkte g ein Paar entsprechender 
Punkte beider Punktreihen vereinigt, so muss 
die Beziehung bestehen g r . gq‘ = ar . a' q‘, 
siehe Gleichung 14. 
Macht man daher, siehe Figur 125, 
ra“ = a‘ q‘ und beschreibt über a a“ als 
Durchmesser einen Halbkreis, so ist die 
zu a a“ senkrechte und durch r gehende 
halbe Kreissehne gleich k. Ein Kreis mit 
dem Mittelpunkt m der Strecke r q‘ und 
gehend durch den zweiten Endpunkt der eben 
genannten halben Kreissehne liefert auf A 
bezw. A‘ zwei Punkte g und h, welch jeder 
beiden Punktreihen als ein Paar ent- 
sprechenderPunkte zugleich angehört, denn es ist 
r g . q‘ g = r h . q' li — ar . a' q‘ = k z . . . 61) 
Der Kreis über a a“ als Durchmesser ist 
stets vorhanden, welche Lage die Punkte a 
und a‘ auch haben mögen. Es gibt somit 
stets zwei Punkte g und 7*., in welchen je 
ein Paar entsprechender Punkte beider Punkt 
reihen vereinigt sind, w r as als Satz wie folgt 
ausgedrückt werden kann: 
„Zwei ungleichlaufende Punktreihen 
mit gemeinsamem Träger besitzen 
stets zwei gemeinsame sich selbst ent 
sprechende Punkte, welche vom Hal 
bier punkt der Streckerq‘ gleich weit, 
und zwar um die Länge k abstehen.“ 
Figur 126. 
Sind die Punktreihen gleichlaufend, siehe 
Figur 126, so macht man wieder ra“ = q'a' 
und beschreibt über a a“ als Durchmesser 
einen Kreis, d. h. man konstruiert die mittlere 
geometrische Proportionale zwischen den 
Strecken a r und a“ r und sucht in dem 
über rq‘ als Durchmesser beschriebenen Kreise 
die zu dieser mittleren Proportionale gleich 
grosse halbe zu rq‘ senkrechte Kreissehne; 
ihr Schnittpunkt mit rq‘ ist ein beiden 
Punktreihen angehöriger sich selbst entspre 
chender Punkt. Da es im allgemeinen zwei solcher 
Kreissehnen gibt, so sind auch zwei beiden Punkt 
reihen angehörige sich selbst entsprechende