Besondere Fälle der Projektivität der Gebilde der ersten Stufe. 
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einem bekannten planimetrischen Satze die 
Beziehung statt: m o . mp = ma . ma! = 
mb .mb' — mc .mc 1 . Es bilden somit in 
Rücksicht auf Gleichung 62 bezw. 63 die 
Punkte a a‘, bb‘, cc‘ zusammengehörige 
Punktpaare einer Involution, mit dem 
Punkte m als Mittelpunkt. 
Figur 
Erkl. 141. Liegen die Punkte o und p auf 
der nämlichen Seite von A (siehe Fig. 131), 
so gibt es unter den durch o und p möglichen 
Kreisen zwei, welche den Träger berühren, 
und es fallen in diesen Punkten die Punkte 
eines Punktpaares zusammen, d. h. die Berühr 
punkte dieser Kreise mit.4 liefern die Doppel 
punkte#^ und h li‘ der In vo lut io n; ihre Ent 
fernung von m ist in der Länge der Tangente 
von m an einen der Kreise K gegeben. 
Erkl. 141a. Die Länge mq = mg — mh 
ergibt sich auf Grund eines bekannten plani 
metrischen Satzes als Kathete eines rechtwink 
ligen Dreiecks mit mo als Hyptenuse und dem 
Punkte p als Fusspunkt der zur letzteren Linie 
gehörigen Höhe. 
Erkl. 142. Die Gesamtheit aller Kreise, 
welche in einer Ebene durch zwei feste 
Punkte gelegt werden können, nennt man eine 
Kreisschar oder eine Schar von Kreisen. 
Mit Bezug auf die oben gegebene Erläuterung 
und in Rücksicht auf die Antw. der Frage 79 
kann man den Satz aussprechen: 
„EineKreisschar wird von einer Ge 
raden inPunkten einerlnvolution ge 
schnitten.“ 
Erkl. 148. Liegen die Punkte o und p auf 
verschiedenen Seiten von A, siehe Fig. 132, 
so fällt der Punkt m innerhalb der Kreise 
der Kr eis s cliar; es gibt keine Tangente von 
m aus an diese Kreise und unter den letzteren 
keine den Träger A berührenden Kreise, 
d. h. keine Doppelpunkte. Unter den Kreisen 
der Schar befindet sich aber einer, dessen 
Mittelpunkt auf A selbst liegt und der den 
Träger A in den Punkten g und g' des zum 
Mittelpunkte m symmetrischen Tunkt- 
paares schneidet. 
131.