142 Ueber die Centralprojektion. 
Nimmt man die Mitte von qh und g'li' 
bezw., so entsprechen diesen Halbierpunkten r 
und q' bezw. die unendlich fernen Punkte beider 
Reihen, und es sind somit Doppelpunkte nur 
dann vorhanden, siehe Erkl. 132, wenn 
gh = k = ~ rq' 
ist, d. h. wenn die Strahlen GH und G‘H‘ 
beider Büschel nicht über einandergreifen. 
Erkl. 151. Bei vier harmonischen Strahlen 
findet stets die in Gleichung 78 bemerkte Be 
ziehung statt, denn sind H, G, A, A 0 vier har 
monische Strahlen, so erhält man zunächst die 
Gleichheit: 
sin HA sin HÄ 0 
'sin GA ~ ~ sin GA 0 
Ist nun G die Halbierungslinie des Winkels 
IIG, so kann man die obige Gleichung auch so 
schreiben: 
sin (HQ + QA) ^ sin (HQ + QA 0 ) 
sin (HQ — GA ~ sin (QA 0 — HQ) ' 
Wird diese Gleichung mit Bezugnahme auf 
die Gleichungen, siehe Erkl. 110 I. Teil des 
Projektionszeichnens, aufgelöst, so erhält man 
schliesslich 
tg QA . tg Q A 0 == tg 2 HQ = tg 2 QG . . 80) 
Erkl. 152. Die Ableitung der Gleichung 80 
kann in folgender Weise vorgenommen werden: 
Es ist 
sin (HQ -f- QA) = sin HQ . cos QW + cos IIQ . sin QA \ 
sin (HQ — QA) — sin HQ . cos QA — cos HQ . sin QA ( g^ 
sin (H Q — Q A 0 ) = sin H Q . cos Q A 0 — cos HQ . sin Q A 0 . . . . 
Gleichung 79 geht somit über in 
sin IIQ . cos QA + cos HQ . sin QA sin HQ . cos QA 0 f cos IIQ . sin QA n 
sin HQ . cos QA — cos HQ . sin QA “ ” sin HQ . cos QÄ 0 - cos HQ . sin QA 0 
Führt man die Multiplikation durch, so erhält man: 
sin HQ. cos QA. sinHQ. cos QA 0 — (sinHQ .cosHQ.cos qa. sin Q a 0 ) —cos IIQ. cosHQ. sin Q A. sin QA 0 
+ (cos HQ. sinHQ.sin QA. cos QAo) =— sinHQ .COS QA . sinH(^.COSQA 0 — (sinHQ . cos HQ . cos QA. sin Q A 0 ) 
+ (sinHQ. cos HQ . sin QA. cos QA 0 ) + COS HQ . COS IIQ . sin QA . sin QÄ 0 . 
welche Gleichung in folgende übergeführt wer 
den kann: nb. Die eingeklammerten Glieder heben 
sin 2 HQ , cos QA . cos QA 0 _ sich b ^i der Multiplikation weg. 
cos 2 IIQ . sin QA . sin QA 0 
d. h. 
tg 2 HQ = tg QA . tg QA 0 . 82)