Besondere Fälle der Projektivität der Gebilde der ersten Stufe. 
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„Das Erzeugnis zweier projektiven Punktreihen ist zugleich das 
Erzeugnis zweier projektiven Strahlbüschel.“ Mit anderen Worten: 
„Jede Kurve zweiter Klasse ist zugleich eine Kurve zweiter Ordnung.“ 
Erkl. 171. Auf Grund des in Anmerkung 28 
Angeführten ist man im Stande, die Berühr 
punkte aller übrigen Tangenten in einfacher 
Weise zu ermitteln, sobald eine der Berühr 
sehnen konstruiert ist. Denn kennt man z. B. 
die Berührsehne sO, so liefern die Verbindungs 
linien a'd und c‘ e den Punkt r““ und dessen 
Verbindung mit r die Berührsehne uw. Die Linie 
s'r"" ist zugleich Berührselme a‘ u für die Tan 
genten G‘ und bl' und schneidet die Linie sd 
in einem Punkte durch welchen die Berühr 
sehne wt hindurchgeht. Die Verbindungslinie u v 
endlich ist Berührsehne für die Tangenten aa‘ 
und bb‘ und enthält zugleich die Schnittpunkte 
r" und r von ad- und wt, desgleichen von V t 
und a b‘. 
Anmerkung 25. Zu den in den Anmerkungen 23 und 24 aufgestellten Sätzen hätte man 
auch in folgender Weise gelangen können: 
Ist K eine Kreislinie, so kann dieselbe erzeugt werden durch zwei projektiv 
gleiche Strahlbüschel, etwa o(oa, ob, oc. . .) und o'(o'a, o'b, o‘c . . .), siehe 
Figur 159. Zieht man nun in den Punkten o, o', a, b, c Tangenten an die Kreis 
linie und treffen etwa die Tangenten in den Punkten o und o' jene in den Punkten 
a, b, c in den Punkten a, b, c und a‘, b‘, c', so ist die Projektivität der Punkt 
reihen (a, b, c ...) und (a', b‘, c‘...) unmittelbar ersichtlich; denn verbindet man den 
Kreismittelpunkt m mit den Punkten 
a, b, c, so entsteht ein mit dem 
Strahlbüschel o (o a, o b, o c...) gleiches 
und somit projektives Strahlbüschel 
m (ma, mb, mc . . .). In gleicher 
weise ist auch das Strahlbüschel 
o' (o'a, o'b, o'c. . .) gleich und pro 
jektiv dem Strahlbüschel m {ma‘,mb‘, 
mc'.. .), somit sind auch die Punkt 
reihen a,b,c... und a‘, b‘, c‘ . . . unter 
einander projektiv. Es gilt demnach 
folgender Satz: „Irgend zwei Tan 
genten eines Kreises werden 
von den übrigen Kreistangen 
ten nach Punkten zweier pro 
jektiven Punkt reihen g e - 
tro ffe n.“ 
Projiziert man die Kreislinie K samt 
derr sie hervorbringenden P unkt- 
reihen und Strahlbüscheln in 
eine beliebige Ebene E, so werden 
die genannten Strahlbüschel undPurrkt- 
reihen als Central Projektionen wieder Strahlbüschel und Punktreihen haben 
und deren Erzeugnis K‘ wird eben die Centralprojektion der Kreislinie ergeben, 
woraus anderseits wieder folgt, dass eine Linie zweiter Ordnung oder Klasse 
stets als Centralprojektion einer Kreislinie aufgefasst werden kann. Die 
sämtlichen vom Projektionscentrum nach den Punkten der Kreislinie K gezogenen 
Projektionsstrahlen bilden eine Kegel fläche, welche die Kreislinie K als Leit 
linie besitzt, siehe Erkl. 171, und deren Schnitt mit der Ebene E die Central 
projektion der Kreislinie liefert. Diese Centralprojektion nennt man Kegelschnitt. 
Die Linien zweiter Ordnung oder Klasse sind also Kegelschnitte. 
Figur 159.