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<p(™) ■ <f (n) = i/o + ftA + i/o) + (*A + Vx + V' 0 ) + etc.
+ ( “H * i * V» “f - H - • • • + i«^o)+ etc -
où t fx =m Ll X‘ u , t' L —n u x. u , supposé que la série du second membre soit conver
gente. En substituant les valeurs de t u et V^ on aura:
(f(m) . cp(n) = m 0 n 0 + (m 0 n x + m x n 0 )x -f- (m 0 ?? 2 + m x n x + m 2 n 0 ) ar 2 -f- ...
+ ( m o ^,«+ m L Ku-1 +M 2 »«-ï + + ™ /i n 0 )& u -f . . .
Or d’après une propriété connue de la fonction m^ on a
( m + n \u = m 0 n ,u + w x w«., + w 2 n u _ 2 + ... + mp n 0 ,
(m.-f- n) u désignant la valeur de m u lorsqu’on y substitue m -j- n pour m. On
aura donc par substitution:
(f{m) . rp(n) == (m -j- n) 0 + (m -f- n) x x + (m -f- w) 2 x 2 + ... + (m + n) u x u + etc.
Or d’après ce qui précède, le second membre de cette équation est une
série convergente et précicément la même chose que (p(mn)-, donc
5) (p(m). cp(n) =
Cette équation exprime une propriété fondamentale de la fonction q>(m).
De cette propriété nous déduirons une expression de la fonction sous forme
finie à l’aide des fonctions exponentielles, logarithmiques et circulaires.
Comme on a vu plus haut, la fonction q{rti) est de la forme p-J- q\^—1,
p et q étant toujours réels et fonctions des quantités k, h', a et <p, et m = k
-|- k'Y"— 1, x = a (cos cp -}- V — 1 . sin (p). Soit
p + V Y —1 = r ( cos s Y— 1 . sin s),
et l’on trouvera
{p 2 q^f — r, — = cos s, = sin .v,
r r
r étant toujours positif et s une quantité réelle. Soit
r — f(k, k'), s = \p(k, k'), et l’on aura,
3') p + q Y— 1 = fp(k -j- k' Y —1 ) =f(k, k') (cos xp(k, k') -\~Y—1 sin \p(k,k')).
On tire de la en mettant successivement Z, V et k-\- l, k’ -j- Z' à la place
de k et k’:
<p(l + l'Y — 1) = f(h Z') (cos \p(l, V) -f- Y — 1 sin ^(4 Z')),
q(/t-j-Z+(/t'+Z')j/ -l)—f(k-\-l, /¿'-j-Z')(cos y(k-\-l, k'-\-l')-\-Y -1 • sin q>(&-f-Z> k'-\-l')).
Or en vertu de l’équation q{m). q(n) = q(m-\-n), on a,
q)(k —f— Z —}— (k'-j- Z') Y— 1) ^ <p(k-\-k'Y— 1) • ^(Z-j- l'Y—1)>
en faisant m = k -f- k'Y — 1, n = Z -j- Z'}/"— 1. Donc en substituant, on obtient,
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