§§ 431—432 
IY, 2. Quaternionen. 
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drei Einheitsvektoren a, b, c darstellen, während zwei Seiten die 
• . & c 
beiden gegebenen Yersoren darstellen, die bezüglich gleich — und 
sind. Die dritte Seite stellt den Quotienten von c durch a dar und 
ist gleich dem Produktversor der beiden ersten, da 
b c l /, 1\ 1 c 
_ == _fr c== _ c = _ 
ab a \ b) a a 
ist. Die Multiplikation der Yersoren vollzieht sich also auf 
der Kugelfläche so wie die Addition der Vektoren in der 
Ebene (§ 389). Zu diesem Resultat kann man auch auf rein trigo 
nometrischem Wege gelangen. Umgekehrt ist es leicht, aus dem 
soeben erhaltenen Resultate die Fundamentalformeln der sphärischen 
Trigonometrie abzuleiten 1 ). 
432. Produkt von drei Vektoren. Wir wollen die Resultate 
des § 428 zur Aufsuchung des Produktes von drei Vektoren a, b, c 
anwenden. Zunächst ist 
abc = acPbc -f aVbc, 
mithin 
cPahc = <£(aVbc), Vabc = a$bc -f V (aVbc). 
Aus § 426 ergibt sich, daß der skalare Bestandteil des Produktes der 
Vektoren a und 'tyhc gleich 
— a i (b 2 c 3 — b 3 c 2 ) — a 2 (b^ — b x c 3 ) — a 3 (b 1 c 2 — b 2 c t ) 
ist. Mithin ist 
0?abc = — 
a 1 \ c t 
a 2 ^2 ^2 
Wir sehen auf diese Weise, daß, abgesehen vom Vorzeichen, der 
skalare Teil des Produktes von drei Vektoren das Volumen des über 
diesen Vektoren konstruierten Parallelepipeds darstellt. Daraus folgt, 
daß das Produkt von drei Vektoren nur dann ein Vektor ist, 
wenn die Faktoren in einer und derselben Ebene gegeben 
sind. Was den vektoriellen Bestandteil anbetrifft, so erhält man bei 
Anwendung der Formeln (4) 
2Vabc = 2a$bc + aVbc — V(bc) • a 
= a (q?bc + Vbc) -f (q?bc — Vbc) a = abc + cba 
und weiter 
2 Vabc = a (bc + cb) — (ac + cd)b -f c (ba -f ab) 
oder, wenn man wieder auf die Formeln (4) zurückgreift, 
(6) Vabc = acPbc — bcPca-\-ccPab. 
1) Siebe Hoüel: „Theorie élémentaire des quantités complexes“ (p. 482).