174 
L. EULERI OPERA ARITHMETICA. 1777. 
LVI. 
De singulari genere quaestionum DiopBiaiiteariiiii et methodo 
maxime recondita eas resolvendi. 
(N. Acta IX. 1791 p. 3. Exhib. 1777. Jan. 13.) 
§ 1. Notum est omnes potestates numerorum hujus formae: aa-\-nbb semper esse similis formae, 
scilicet xx-\-nyy\ unde si proponatur numerus N— aa-t-nbb, ejus potestas quaecunque N* semper 
exprimi poterit per talem formulam: N À = xx -+- nyy, ubi pro singulis potestatibus numeri N tam x 
quam y certos valores sortientur. Erit enim 
N 2 = {aa— nbb) 2 -+- n (2 ab) 1 , 
N s — {a 5 — 3nabb) 2 -+- n (3aab — /i6 3 ) 2 , 
N i = (a 4 — 6 naabb -+- /m6 4 ) 2 n (4 a 5 b — \ nab 5 ) 2 , 
unde lex progressionis jam satis elucet, et facile potestates, quousque libuerit, continuari poterunt, 
ope hujus lemmatis, quod si fuerit 
N — aa -f- nbb et M — cc ndd 
semper fit 
MN = {ac — nbdf -f- n {ad ■+- bc) 2 . 
§ 2. Cum igitur, si fuerit N—aa-+-nbb, omnes ejus potestates eandem habeant formam, ita 
ut sit N / = xx-t-nyy, novum genus quaestionum, quas hic tractare institui, in hoc consistit, ut 
eae potestates ipsius N investigentur, in quibus vel numerus x, vel y evadat minimus, seu ipsi uni 
tati aequalis. Quoniam enim hi numeri nunquam evanescunt, in integris etiam minorem valorem 
quam 1 recipere non poterunt; manifestum autem est in methodo Diophantea nullam reperiri viam 
hujusmodi quaestiones resolvendi. 
§ 3. Quo indoles hujusmodi quaestionum clarius percipiatur, consideremus omnes potestates 
binarii, quae semper in hac forma xx-t~7yy contineri deprehenduntur, si modo pro prima et 
secunda potestate etiam fractiones admittantur, si quidem habebitur 
2 = ot 4 = («*-♦- 7(i)*i 
altiores vero potestates omnes in integris tali forma exhiberi possunt, quemadmodum ex sequentibus 
exemplis elucet: 
2 3 = 
8 = 
(l) î +7(l) î , ergo 
x = 
1 
et 
y — 1, 
2 4 = 
16 = 
(3 2 -+-7(l) 2 , ergo 
x = 
3 
et 
y= i, 
2 5 = 
32 = 
(5) 2 —t— 7 (l) 2 , ergo 
x = 
5 
et 
r = 1 »