§17. Die Doppelebene. 
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2. Wie wir früher (§ 13, 3, 4) gesehen haben, gehören der 
Fläche (2) nur diejenigen Punkte an, welche in ihrer Polarebene 
liegen. Demnach kann in unserm Falle der Fläche kein Punkt 
angehören, der aufserhalb der singulären Ebene liegt, da ein solcher 
Punkt die singuläre Ebene zur Polarebene hat. Dagegen ist ein 
beliebiger Punkt der singulären Ebene zu allen Punkten des 
Raumes, also auch zu sich konjugierter Pol. Demnach gehören 
der Fläche alle Punkte der singulären Ebene, und nur diese, an. 
Schon hieraus geht hervor, dafs bei unsern Voraussetzungen ist: 
(4) Sat X xc x* = q (c lX| + c 2 x 2 + c 3 x 3 + c 4 x 4 ) 2 . 
3. Um dies Resultat nochmals zu erweisen, wähle man die 
Ebene y t = 0 zur singulären Ebene und nehme drei andere 
Koordinatenebenen beliebig hinzu. Wenn jetzt die Gleichung der 
Fläche wird 2bixjtyx — 0, so müssen die vier Gleichungen 
b ii7i + b i 2 y 2 + b i 3 y 3 + b i 4 y4 = 0 
b 4 l.y 1 4- b 4 2 y 2 4~ b 4 3 y3 + b 4 4y4 = ^ 
für y i =0 und beliebige Werte von y 2 , y 3 , y 4 befriedigt werden. 
Demnach mufs sein: 
b l 2 = b l 8 = b 14 ===b 22 ==b 23 ==b 24 ==b 3 3 “ b 3 4 ==b 44 = ^5 
die Gleichung der Fläche ist also 
b i iFi ~ °- 
Übungen: 
1) a) Damit die durch die drei Punkte (g), (rj), (£) gelegte 
Ebene ganz der Fläche zweiter Ordnung f (xj . .. x 4 ) = 0 angehört, 
müssen die sechs Gleichungen erfüllt sein: 
f (§1 • • . &) — 0, f (y/, . . . Vi ) = 0, f (& . . . g 4 ) — 0, 
2 ¿¡*f (ijx) — 0, 2 £xf = 0, 2 7jxf (^) = 0. 
(Setzt man x« = X£a -p t ufja -p 50 w i r( l di e Gleichung 
f (x t ... x 4 ) = 0 für beliebige Werte von X, g, v befriedigt.) 
b) Sobald die drei Seiten eines Dreiecks auf einer Fläche 
zweiter Ordnung liegen, gehört ihr die Ebene des Dreiecks voll 
ständig an. 
c) Sobald die drei Eckpunkte eines Dreiecks und noch ein 
Punkt von jeder der drei Seiten in einer Fläche zweiter Ordnung 
liegen, gehört ihr die Ebene des Dreiecks vollständig an. 
d) Wenn eine Ebene einer Fläche zweiter Ordnung angehört,