Potenzreste für zusammengesetzte Moduln. 
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So z. B. gehört die Zahl 5 für den Modul 36 zum Ex-' 
ponenten 6; denn es ergiebt sich als Reihe der Potenzreste 
von 5 für diesen Modul 
5, 25, 17, 13, 29, 1. 
§ 60. Der verallgemeinerte Fermat’sche Satz. — 
Für jede Zahl a, die prim zum Modul m ist, besteht 
die Congruenz 
a </>(»«) = 1 (mod. m). 
Beweis. Es seien 
(1) CC 1} « 2 , • • • , CC(p( m ) 
die <p(m) Zahlen, welche prim zu m und nicht grösser als m 
sind. Wird jede dieser Zahlen mit a multiplicirt, so erhalten 
wir die Produkte 
(2) cc 2 n } • • • > , 
deren Reste von einander verschieden sein müssen; denn aus 
der Annahme a k a = a x a (mod. m) würde sich durch die hier 
zulässige Division durch a ergeben, dass a k = a x sein müsste, 
während a k und a x als von einander verschiedene Zahlen der 
Reihe (1) vorausgesetzt worden sind. Da nun noch jede der 
Zahlen (2) prim zu m ist, so müssen die Reste der Pro 
dukte (2) in irgend einer Reihenfolge mit den Zahlen (1) 
übereinstimmen. Es ist daher auch das Produkt aller Zahlen 
(2) dem Produkte aller Zahlen (1) congruent, also 
a v a 2 . . . K'pwafW = a v a 2 . . . (m) (mod. m), 
und hieraus folgt durch Division mit a ± a 2 ... a^( m ) 
a'i’(”*) =1 (mod. m) . 
Zusatz. Der Exponent, zu welchem eine Zahl a, 
die prim zum Modul m ist, für diesen Modul gehört, 
ist ein Divisor von cp(m). 
Der Beweis stimmt ganz überein mit dem oben für den 
Satz II des § 46 gegebenen. 
§ 61. Yertheilung der Zahlen, die prim zu m 
sind, unter die Divisoren von <p(m) als Exponenten, 
zu welchen sie für den Modul m gehören. — Be 
ginnen wir der Deutlichkeit halber auch hier mit einigen 
Beispielen. 
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