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C'est par degrés , comme dans les autres parties des Mathé 
matiques, qu’on s’est élevé à ce qu’on sait aujourd’hui sur ce 
sujet. Jacques Bernoulli proposoit à la fin de ï6^5 ( 1 ) ce cas 
d’équation différentielle yjL dx -J- by n X r dæ — ady=о , dan s 
laquelle X,X r sont des fonctions différentes de x et de cons 
tantes, et a et b des constantes. Il demandoi 1 * * les moyens d’en 
séparer les indéterminées. Leibnitz ne tarda pas de répondre 
sommairement à la question , en annonçant que celte équation 
pouvoit se réduire à Zidu -\-Ъ г ndz, ou Z.Z' .Z^ sont des fonctions 
de zet de constantes, et que de cette demie re il étoit en état d’en 
séparer les variables et d’en réduire la construction aux quadra 
tures. Cela montre qu’en effet il étoit en possession de la clef 
du problème ; car cette réduction est une des voies qu’on peut 
prendre pour le résoudre. Jacques Bernoulli se borna aussi à 
indiquer sa solution , qu’il réduisit à un problème analogue à 
celui de Beaime , dont il donnoit la construction par un mou 
vement continu (2). Mais Jean Bernoulli est celui qui en a 
donné la solution la plus instructive et la plus développée. C’est 
pourquoi nous la ferons connoître dans une des notes qui sui 
vront ce livre. Il nous suffira de donner une idée de sa mé 
thode. Elle consiste d’abord à supposer l’une des variables y 9 
égale à mz , ( m et z étant deux nouvelles indéterminées ). Cette 
valeur étant substituée dans l’équation proposée , il en résulte 
une nouvelle à quatre termes dont il égale deux , ce qui lui est 
permis à camse de la double indétermination de m et de z. Il 
en résulte une valeur de z en x, qui étant substituée dans les 
termes restans , opère la séparation des indéterminées, et donne 
une valeur de m en x ; or l’on ayoit fait y—mz. Conséquemment 
ce procédé donne la valeur de y , égaie au produit des deux 
fonctions de x, trouvées pour m et z. 
Plusieurs autres Géomètres enfin se sont essayés sur ce pro 
blème analytique. Craige l’a fait dans son traité de Calculo 
fluentium. Mais une des solutions les plus élégantes est celle que 
Maupertuis a donnée dans les Mémoires de l’Académie de 17 . 
Mais quoique la formule précédente soit des plus étendues, il 
s’en faut cependant bien qu’elle comprenne tous les cas des 
équations à trois termes et à deux variables. Cette équation géné 
rale est en effet celle-ci : AXy"dy-\-'BJL r y n+l dy -\~f y 4 X." dx , 
dans laquelle X.XGX" sont des fonctions de x seulement et de 
constantes, et A. B. C. des constantes. 
Jean Bernoulli est aussi parvenu , par une subsdtution sem 
blable à la précédente à l’intégrer , ou du moins a séparer les 
(1) Acta eruditorum Lipsiensia, Probi. Beaunianum generalius con- 
&nn. j 695. ceptum A«, Lips, 
variables ,