0^2 k — 2: 
(a, b), 
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zwar: 
(T) 
(TO 
und fas 
(T") 
welche kleiner ist als die Summe S, weil ihre Summanden im 
allgemeinen kleiner sind als die entsprechenden von 8. 
Ersetzt man in S die Funktionswerte fix-^, f{x^), . • • 
durch die größten Werte M 1 , M 3 , . . . M 2n _ 1 aus den betreffen 
den Intervallen, so entsteht eine dritte Summe: 
n 
(9) § = >,W ^2i-2)-^2*-l> 
1 
welche größer ist als S. 
Demnach ist die Summe S eingeschlossen zwischen die 
Grenzen 
(10) S^S^'. 
2) Die beiden Summen S 1; 8' lassen sich seihst wieder 
zwischen zwei Grenzen einschließen. 
Bezeichnen nämlich m, M bzw. den kleinsten und größten 
Wert, welchen die Funktion f{x) in dem ganzen Intervalle (a, h) 
annimmt, so wird die Summe S 1 verkleinert, wenn man in ihr 
die einzelnen m 2 k _, durch m ersetzt und geht über in 
71 
m^(x 2k — x 2k _ 2 ) = m(b — a); 
i 
hingegen wird die Summe 8' vergrößert, wenn man an die 
Stelle der verschiedenen M 2k _ x treten läßt M } und sie nimmt 
den Wert 
71 
— %*- 2 ) = M (P “ a ) 
1 
an. 
Demnach ist unter Einbeziehung von (10): 
(11) m(b — a) < Si < S < 8'< M(b — a). 
3) Mit zunehmender Anzahl der Teilintervalle wächst die 
Summe 8, beständig, während die Summe 8' beständig obnimmt. 
Man kann sich die Teilung von (a, b) derart fortgesetzt 
und die Anzahl der Teile wachsend denken, daß die Zahlen 
der Reihe (6) heibehalten und neue Zahlen eingeschaltet wer 
den; dadurch zerfällt im allgemeinen jedes frühere Intervall 
wie (x 2k _ 2 , x 2k ) in mehrere kleinere; bildet man für diese die 
Teilsumme nach Vorschrift von (8), so lassen sich auf 
zusamn 
geordm 
Teilung 
8\T") 
De 
folgend 
Zweiter Teil. Integral-Rechnung.