§ 4. Hauptnormale und Binormale. 
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unabhängig ist 1 ), daß also die Kurve in der Umgebung eines jeden 
ihrer Punkte ganz auf der einen Seite der Ebene durch Tan 
gente und Binormale liegt. Als die positive Seite dieser Ebene 
bezeichnen wir diejenige, welche in der Umgebung von M der Kurve 
zugewandt ist; als positive Richtung der Hauptnormale, welche eben 
die Senkrechte auf dieser Ebene ist, wird folglich diejenige festgesetzt, 
nach welcher die positive Seite der Ebene selbst liegt. Bezeichnen 
wir also, wie es des weiteren stets geschehen soll, mit 
COS I, COS 7], cos £ 
die Kosinus der positiven Richtung der Hauptnormale, so haben wir 
nach dem Vorstehenden: 
CO 
- d 2 x 
COS I = p , 
d 2 y d 2 z 
cos n-9-^i, = 
Endlich wollen wir unter positiver Richtung der Binormale die 
jenige verstehen, die in bezug auf die bereits bestimmten positiven 
Richtungen der Tangente und Hauptnormale ebenso gelegen ist wie 
die positive Richtung der z-Achse zu derjenigen der x- und «/-Achse. 
Führen wir für die Richtungscosinus der Binormale die Bezeichnungen 
cos X, cos g, cosv 
ein, so haben wir nach bekannten Formeln der analytischen Geometrie 2 ): 
cos A = cos ß cos £ — cos y cos rj, cos g = cos y cos £ — cos a cos £, 
oder: 
(8) 
cos v — cos a cos rj — cos ß cos £ 
dy dz 
dz dx 
dx dy 
ds ds 
ds ds 
ds ds 
Q 
d 2 y d 2 z 
, COS g == Q 
d 2 zd 2 x 
, COS V — Q 
d 2 x d 2 y 
ds 2 ds 2 
ds 2 ds 2 
~ds 2 ~d? 
Das durch die positiven Richtungen der Tangente, der Haupt- und 
der Binormale bestimmte rechtwinklige Trieder soll der Kürze wegen 
das Haupttrieder oder begleitende Dreikant der Kurve in M ge 
nannt werden. 
1) Außer in den singulären Punkten, für welche — = 0 ist. 
Q 
2) Man erinnere sich, daß die Determinante 
COS Ci 
cos ß 
cos y 
cos £ 
COS 7} 
cos £ 
cos l 
COS u 
cos V 
und jedes ihrer Elemente gleich der zugehörigen Unterdeterminante ist.