Trigonometrie (die trigonometrischen Funktionen). 519 
die dritte finden mit Hilfe des Pytha 
goreischen Lehrsatzes: die Dumme der 
Quadrate beider Katheten ist gleich dem 
Quadrat der Hypotenuse, a 2 —|- g 2 = h' 2 . 
Ist beispielsweise a — 7,5 und g = 18 
m, so ist a 2 — 7,5 - 7,5 — 56,25 und 
g 2 = 18-18 = 324, die Summe gibt 
st 2 — 380,25, und durch Ausziehen der 
Quadratwurzel erhält man dann st = 19,5 
m. Ist dagegen die Hypotenuse st und 
eine Kathete, etwa a, gegeben, so findet 
man die andre Kathete mittels desselben 
Satzes, indem man ihm die Form gibt 
g 2 = h 2 — a 2 , d. h. das Quadrat einer 
Kathete ist gleich dem Quadrat der Hy 
potenuse weniger den: Quadrat der an 
dern Kathete. Wenn also beispielsweise 
st = 21,25 und a = 10 m ist, so hat 
man st 2 = 21,25 - 21,25 = 451,5625 und 
a 2 = 100, mithin g 2 = 351,5625, und 
daraus folgt durch Ausziehen der Quadrat 
wurzel g '= 18,75 in. Solange also in 
der Rechnung nur Seiten vorkommen, 
reicht der Pythagoreische Lehrsatz aus; 
dies wird aber anders, wenn als gegebenes 
oder gesuchtes Stück neben Seiten auch 
ein Winkel des Dreiecks auftritt. In 
diesem Fall muß man eine Beziehung 
zwischen Seiten und Winkeln des Drei 
ecks zu Hilfe nehmen. 
Zu einer solchen führt uns nun der 
Satz, daß in Dreiecken, welche dieselben 
Winkel haben, auch 
Ns- i. die Verhältnisse zwi- 
s* scheu den Seiten die 
gleichen Werte be- 
g sitzen, mögen übri- 
gens die Dreiecke 
^ k. groß oder klein sein, 
Rechtwinkeliges und umgekehrt. Die 
Dreieck. Geometrie bezeichnet 
derartigeDreieckeals 
ähnliche. Wenden wir dies auf unser 
rechtwinkeliges Dreieck in Fig. 1 an, so 
können wir sagen, daß jeder der Brüche 
g JL JL 1 iL 2L 
h' h ' a ’ g ' a ' g 
seinen festen Wert hat. gleichgültig, ob das 
Dreieck groß oder klein ist, sobald der 
Winkel u dieselbe bestimmte Größe bei 
behält. Durch einen jeden dieser sechs 
Brüche ist daher die Größe des Wiirkels 
u bestimmt, weshalb man jeden derselben 
eine trigonometrische Funktion von 
u nennt. Der Ausdruck »Funktion von 
u« will nämlich nichts weiter sagen als 
eine Größe, deren Wert von demjenigen 
der Größe n abhängt. 
Diese sechs Brüche führen aber auch der 
Reihe nach die besondern Namen Sinus, 
Kosinus, Tangente, Kotangente, Sekante 
und Kosekante. Es ist also in unserm ' 
rechtwinkeligen Dreieck 
der Sinus von u die Gegenkathete, divi 
diert durch die Hypotenuse, in Zeichen 
sin n = 
der Kosinus von u die anliegende 
Kathete, dividiert durch die Hypotenuse, 
in Zeichen co« u = 
die Tangente von u die Gegenkathete, 
dividiert durch die anliegende, in Zeichen 
tan u = y; 
die Kotangente von n die anliegende 
Kathete, dividiert durch die Gegenkathete, 
cot n = - ; 
g 
die Sekante von n die Hypotenuse, divl- 
diert durch die anliegende Kathete, «ec u 
= y, und 
die Kosekante die Hypotenuse, dividiert 
durch die Gegenkathete, cosec u = — • 
Aus den gegebenen Erklärungen geht 
hervor, daß die Funktionen 86c n und 
cosec u gleich der Einheit, dividiert durch 
cos n, beziehentlich durch sin u. Wir 
können daher im folgenden die Funk 
tionen Sekante und Kosekante übergehen 
und statt ihrer mit Kosinus und Sinus 
rechnen. 
Eine analoge Beziehung findet auch 
zwischen Tangente und Kotangente statt, 
es ist nämlich 
tan n = -4— und cot u = -—. 
cot u tan u 
Ferner erkennt man, daß die Tan 
gente gleich dem Sinus, dividiert durch 
den Kosinus, die Kotangente gleich dem 
Kosinus, dividiert dmch den Sinus, ist; 
sFortjctzung S. 521?