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worin £ eine von x unabhängige Veränderliche bedeutet. Es kann 
nämlich der Fall eintreten, daß das unbestimmte Integral, wenn es 
im allgemeinen auch für alle Werte von x stetig ist, doch diese 
Eigenschaft verliert, wenn man der Veränderlichen £ einen bestimmten 
Wert beilegt. Dies ist namentlich dann zu berücksichtigen, wenn 
das bestimmte Integral, als Funktion von £ angesehen, einer zweiten 
Integration in bezug auf £ unterworfen wird, und zwar zwischen 
Grenzen, innerhalb deren auch der spezielle Wert von £ liegt, welcher, 
das in bezug auf x genommene unbestimmte Integral unstetig macht 
Sind oc, ß diese Grenzen, c und y die Werte von x und £, für welche 
das Integral in bezug auf x unstetig wird, so muß man zufolge des 
vorigen Artikels 
ß b ß c — * ß b 
(19) jd£ J/(«,£)da; = limj d£ J/(a;, £) dz -f j d£ J/(«,£) da: 
a a w a ose + s 
setzen; denn man muß erst die Integration in bezug auf x so aus 
führen, daß sie für alle Werte von £, welche bei der zweiten In 
tegration in Betracht kommen, gültig bleibt. Ich habe diese Formel 
angeführt, um dadurch der unrichtigen Auffassung eines Satzes zu 
begegnen, der sich auf die Umkehrung der Integrationsordnung bei 
Doppelintegralen bezieht. In einem solchen Doppelintegral kann man 
nämlich die Ordnung vertauschen, also 
ß b b ß 
(20) Jd£ j/(aj,|)da: = Jda; j/(»,£) da: 
cc a a cc 
setzen, wenn /(¡r, £) für alle Werte von x und £ innerhalb der In 
tegration endlich und stetig bleibt; wird aber f{x, £) für x = c, 
£ = y unstetig, so kann man noch immer 
ß C — 8 ß b C — s ß b ß 
j d£ j/(«,£) da; + jd£ J/(«,£) d« = j dir j/(»,£) d£ + j da j/(a;,£)d£ 
a a ce c + s a cc c + e a 
setzen; bezeichnet man die unbestimmten Integrale in bezug auf x 
und £ bzw. mit F (x, £) und tp (x, £) und setzt diese als stetig zwi 
schen den Grenzen der einzelnen Integrale voraus, so geht die letzte 
Gleichung in 
|W, I) - F(a, |)]d| -f[F(e + ,,t)-F{e-e, |)] di; 
a a 
— j [(p (x, ß) — cp (x, 04)] d X -f j [cp («, ß) — cp (», 04)] d X 
a c + 8 
über; und we 
(jW 
(21) I“ 
Diese Formel 
auf der linke] 
integralen in 
erhellt aber, ( 
linken zusamn 
Doppelintegral 
Gleichung (2] 
welche sich d* 
nämlich 
an, worin i — 
F(x, 
und die Gleicl 
(22) 
Führt man in 
die Gleichung 
ist, und setzt 
(23) 
so findet man 
(24) i lim