Wählt man umgekehrt in r einen beliebigen Punkt als Mittel 
punkt eines durch M gehenden Kreises, so schneidet dieser den Träger 
r immer in zwei conjugierten Punkten b x und bdenn es wird auch 
diesfalls: 
Mb x .M\ = MM" sein. 
Aus diesem einfachen Ergebnisse ist gleichzeitig zu ersehen, dass 
eine Involution durch zwei Paare entsprechender Punkte 
stets vollkommen bestimmt ist. Man hat nämlich über den bei 
den Paaren a x a tl und b x b„ conjugierter Punkte bloß zwei Halbkreise zu 
beschreiben, deren Schnitt M festzustellen, von diesem Schnittpunkte 
die Senkrechte MM von M aus auf den Träger r zu fällen, um so 
gleich den Mittelpunkt M und in MM 2 die projectivische Potenz der 
Involution zu erhalten. Jeder Kreis durch M\ dessen Mittelpunkt auf 
r liegt, bestimmt sonach auf r zwei conjugierte Punkte. 
Besagte Construction kann jedoch noch viel allgemeiner voll 
führt werden. 
Ist nämlich die Involution durch zwei Paare conjugierter Punkte 
a x a 2 und b x \ (Taf. XI, Fig. 140) gegeben, so zeichnen wir zwei 
beliebige Kreise k und k x , welche durch a x und a,, resp. durch b x 
und b„ gehen. Diese Kreise scheiden sich im allgemeinen in zwei 
Punkten m* und m u , während die Verbindungsgerade m* m" den 
Träger r in einem Punkte M treffen wird. 
Auf Grund dieser Construction wird nun bekanntlich: 
Ma x .Ma z — Mm' .Mm'* 
Mb x .Mb„ — Mm'.Mm" also auch 
Ma x . Ma 2 = Mb x . Mb„. 
Hieraus folgt, dass der erhaltene Punkt M den Mittelpunkt 
der Involution bestimme, und {Mm*. Mm") der Potenz der 
Involution gleich sei. Jeder beliebige andere, durch m' und 
m" gehende Kreis wird nun, wie leicht einzusehen ist, den Träger r in 
conjugierten Punkten der Involution schneiden müssen. 
§. 167. 
In ähnlicher Weise werden auch die Constructionen im Falle der 
„hyperbolischen Involution“ auf bekannte Eigenschaften des 
Kreises gestützt. 
Setzen wir also voraus, es sei M (Taf. XI, Fig. 141), der Mittel 
punkt der Involution a x und zwei conjugierte Punkte, welche der 
malen auf einer und derselben Seite des Mittelpunktes M liegen, und 
denken wir uns weiters durch a x und einen ganz beliebigen Kreis 
K gelegt, an welchen aus M eine Tangente t gezogen, diesen in M