etc. als Peripheriewinkel über je einem und demselben Bogen einander 
gleich sind. 
Ordnen wir demnach die beiden Strahlenbüschel einander so zu, 
dass jene Strahlen aC x und aC 2x bC x und bC 2 ;... etc. einander ent 
sprechen, welche durch den nämlichen Punkt des Kreises K gehen, 
so sind sämmtliche einander entsprechende Winkel gleich und dem 
nach auch die beiden Büschel selbst „projectivisch gleich“. Man 
hat also den Satz: 
64. „ Verbindet man zwei feste, jedoch beliebig angenommene 
Punkte eines Kreises mit allen anderen Punkten des letzteren, so ent 
stehen zivei projectivisch gleiche Strahlenbüschel.“ 
Nehmen wir jetzt umgekehrt an, es wären zwei projec 
tivisch gleiche Strahlenbüschel C x (a x ß x y x ...) und C 2 (a 2 ß 2 y 2 ...) 
gegeben und werfen die Frage auf, ob das „Erzeugnis“ derselben, 
d. h. der geometrische Ort der Schnittpunkte a,b,c,... entsprechen 
der Strahlen ß t ß<>; y t y 2 ein Kreis sein müsse oder nicht. 
Wir denken uns zu diesem Zwecke durch C X C 2 (Taf. XII, Fig. 149) 
und den Schnittpunkt a zweier entsprechender Strahlen a, und a„ 
einen Kreis K gelegt. 
Der Strahl ß x schneidet diesen Kreis in einem Punkte b, welcher 
Punkt mit C 2 verbunden, den Peripheriewinkel aC 2 b gibt, der offen 
bar dem Peripheriewinkel aC l b gleich ist. Nachdem aber voraus 
gesetzt wurde, dass der Winkel (a x ß x ) gleich dem Winkel (cc 2 ß 2 ) sei, so 
folgt, dass auch die Gerade C„b mit dem Strahle ß 2 zusammenfallen 
müsse, dass also b der Schnittpunkt der entsprechenden Strahlen ß x 
und ß 2 sei. 
Auf gleiche Weise kann nachgewiesen werden, dass der Schnitt 
punkt c der einander entsprechenden Strahlen y x und y 2 auf dem 
Kreise K liege, kurz, dass K in der That der geometrische Ort 
der Schnittpunkte entsprechender Strahlen der beiden 
projectivisch gleichen Büschel, oder mit anderen Worten: dass 
K das Erzeugnis der beiden Büschel C t und C„ sei. Man ge 
langt demnach zu dem Satze: 
65. „ Das Erzeugnis ziveier projectivisch gleichen Strahlenbüschel, 
d. h. der geometrische Ort der Schnittpunkte entsprechender Strahlen 
der beiden Büschel ist jederzeit ein Kreis, welcher auch die Mittel 
punkte der beiden Büschel enthält. “ 
Betrachtet man die Verbindungsgerade C X C 2 als Strahl g x des 
Büschels C,, so entspricht demselben im Büschel C 2 die Kreistangente 
im Punkte C„.