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so berührt diese offenbar die Ringfläche in jenen beiden Punkten der 
Hauptmeridianebene q, deren Verticalprojectionen die beiden vor 
genannten Punkte und d 2 sind. Die Ebene E v Eh ist somit eine 
Ebene von der gesuchten Eigenschaft. 
Es ist einleuchtend, dass dieselbe auch durch den Mittelpunkt 
(0, 0') der Ringfläche geht. 
Da diese Ebene die innere Ringfläche in den beiden Punkten 
(d l , d\) und (d 2 , d‘ q ) berührt, so ist an und für sich klar, dass ihre 
Schnittcurve mit dem Ringe die vorgenannten Punkte (d l} d\) und 
(d, 2 , d' q ) zu wirklichen Doppelpunkten haben müsse. 
Untersuchen wir die Natur dieser Schnittcurve und nehmen wir 
zu diesem Behufe an, es sei E v P h eine beliebige Meridianebene. Diese 
schneidet den Ring in zwei Meridiankreisen, und die Ebene E„Eh in 
einer durch den Mittelpunkt (0, 0') des Ringes gehenden Geraden 
(s, s'). Die Punkte, in welchen diese Gerade (s, s') die beiden Meridian 
kreise schneidet, gehören offenbar der zu suchenden Curve an. 
Um die letztere zu construieren, drehen wir die Meridianebene 
P v Ph mit den in ihr liegenden Meridiankreisen und der Geraden (s, s') 
um (Z, Z‘) in die zur verticalen Projectionsebene parallele Lage. 
Hierbei gelangen die beiden Meridiankreise zur Deckung mit den 
beiden Hauptmeridiaukreisen M l und il/ 2 , während die Gerade (s, s‘) 
in die Lage s 0 übergeht. Es wird diesfalls genügen, die Schnittpunkte 
a° 2 und b°„ um (Z, Z 4 ) in die Ebene P v Ph zurückzudrehen, 
um daselbst die verlangten Punkte (a,, a\), (&,, (a 2 , a'„) und 
(Z> 2 , &' 2 ) der Schnittcurve zu erhalten. 
Die Entfernungen der Punkte (a t , a\), (&,, b\), (a 2 , a' 2 ) und 
(b 2 , &' 2 ) von dem Mittelpunkte (0, 0‘) des Ringes erscheinen in der 
gedrehten Lage in wahrer Größe und sind dieselben beziehungs 
weise gleich Oa° v Ob° v 0a° 2 und Ob° q . Nun ist aber: 
Oa\ . Ob\ = Od\ 
und ebenso: 
0a° 2 . Ob\ = Öd\. 
Diese Beziehung gilt natürlich auch von den Punkten in ihrer 
eigentlichen Lage in der Ebene P r P/,. Dasselbe wird weiters 
auch seine Geltung in Bezug auf jede andere Ebene P v Ph beibehalten 
und daher in gleicher Weise von jeder beliebigen durch (0, 0') in 
der Ebene E v E h gezogenen Geraden (s, s 4 ) gelten. 
Wir gelangen mithin zu dem Resultate, dass jede beliebige, 
durch den Mittelpunkt (0,0') des Ringes in der Ebene E v E h gezogene 
Gerade (s, s 1 ) die Schnittcurve dieser Ebene mit dem Ringe in vier