§. 51. 
Sind K und K' zwei einer Regelfläche umschriebene Kegel zweiten 
Grades, so ist jede Erzeugende gleichzeitig eine Tangente beider Kegel. 
Jede Erzeugende bestimmt daher auf jedem dieser Kegel eine 
einzige Berührebene, so dass die Tangentialebenen beider Kegel ver 
mittelst der Erzeugenden der Regelfläche projectivisch aufeinander 
bezogen erscheinen. 
Auf Grundlage des Satzes 47) besitzen aber die beiden Kegel K 
und K‘ eine gemeinschaftliche Berührebene, welche durch eine Erzeu 
gende der Regelfläche geht. Diese Ebene ist somit in beiden Tangen 
tialbüscheln sich selbst entsprechend. Hieraus entspringt folgende 
Erzeugungsweise der Regelfläche. 
51. „Sind die Tangentialebenen zweier Kegel zweiten Grades, 
welche eine gemeinschaftliche Berührebene besitzen, derart projectivisch 
(iein-deutig) aufeinander bezogen, dass diese gemeinschaftliche Berühr 
ebene sich selbst entspricht, so erzeugen die Schnittgeraden entspre 
chender Tangentialebenen eine Regelfläche dritten Grades.“ 
§. 52. 
Durch vorausgeschickte Untersuchungen wurde klar gelegt, dass 
jedem Punkte a der Doppelgeraden D einer R 3 zwei verschiedene 
Tangentialebenen entsprechen. Als solche wurden die beiden Ebenen 
festgestellt, welche durch die Doppelgerade selbst und die beiden 
durch diesen Punkt a gehenden Erzeugenden g und g' der Regelfläche 
bestimmt erscheinen. 
Wird durch a eine beliebige Ebene gelegt, so schneidet diese 
die Regelfläche in einer Curve dritter Ordnung, welche in a einen 
Doppelpunkt besitzt, dessen Tangenten die Schnittgeraden dieser Ebene 
mit den vorgenannten Tangentialebenen (g, D) und (g‘,D) sind. 
Betrachten wir nun statt des beliebigen Punktes a auf D, ins 
besondere einen jener Punkte v x oder i> 2 , beispielsweise v x , welche 
Spitzen von Torsallinien repräsentieren. 
Die beiden Erzeugenden g und g‘, welche durch den Punkt v x 
gehen, fallen in eine und dieselbe Gerade, die Torsallinie v x <p,, zu 
sammen. Es vereinigen sich daher auch die beiden Ebenen (g,D) und 
(g',D), welche die Regelfläche in dem Punkte v x berühren, in eine 
und dieselbe Ebene (Z), v x cpf). 
Legt man daher durch den Punkt v x eine beliebige Ebene, so 
schneidet diese die Regelfläche in einer Curve dritter Ordnung, welche 
in v x einen Doppelpunkt mit zwei zusammenfallenden