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puükt, was offenbar unmöglich ist. Hiernach folgt unmittelbar der der b 
Satz: weise 
10. „Besitzt eine Flüche dritter Ordnung eine Doppellinie, so welcl 
kann diese letztere nur eine Gerade sein.' 1 Darai 
ihrer 
§. 18. 
Nehmen wir an, dass eine Fläche dritter Ordnung in der etwa 
That eine Doppelgerade besitze. ^ e ii 
Legt man durch die vorerwähnte Doppelgerade eine Ebene, so noch 
wird diese die Fläche in einer Curve dritter Ordnung schneiden, von 
welcher die Doppelgerade selbst einen Bestandtheil zweiter offen 
Ordnung repräsentiert. 
Der Rest des Schnittes kann daher nur eine Linie erster 
Ordnung sein, oder mit anderen Worten: jede durch die Doppelgerade ^ ere 
geführte Ebene hat mit der Fläche, außer dieser Doppelgeraden, nur bilde] 
eine einfache Gerade gemein. Besagte Fläche enthält daher un- Eben' 
endlich viele gerade Linien, welche die Doppelgerade schneiden und 
in verschiedenen Ebenen liegen. Die Fläche ist somit eine Regel- Schni 
fläche und es besteht daher der Satz: Ebern 
11. „Besitzt eine Fläche dritter Ordnung eine Doppelgerade, so Erzei 
ist sie nothwendig eine Begelflüche. u 
§. 19. Ulld ■ 
gerne 
Es lässt sich jedoch auch umgekehrt zeigen, dass jede Regel- ander 
fläche dritten Grades von der eben festgestellten Beschaffenheit sei, un( j ( 
d. h. dass jede derselben eine Doppelgerade enthalten müsse. der ' 
Seien also g x , g q , g 3 und g x (Taf. I, Fig. 7) vier beliebige Er 
zeugenden einer Regelfläche dritten Grades. Selbstverständlich dürfen 
die bezeichneten Geraden keinem Hyperboloide angehören, da sonst . , 
jede Erzeugende des zweiten Systems dieses Hyperboloides auch der 
fraglichen Regelfläche angehören würde. ^ ^ 
Es würde nämlich, wenn die Möglichkeit des Vorangeführten an- wenn 
genommen werden könnte, die jeweilige Erzeugende des zweiten pelg 
Systems mit der Regelfläche mehr als drei Punkte (die vier Treff 
punkte mit g v g q , g 3) gj gemein haben, was, nach dem „Principe 
von der Erhaltung der Anzahl u (§. 10, Band II) zur Folge hätte, un 
dass die sämmtlichen Punkte derselben der Fläche angehören ^ en( e 
müssten. 
Wie bereits bekannt, gibt es zwei Geraden \ und h q (reell oder folgei 
imaginär), welche die vier Geraden g x , g q , g 3 und g x schneiden. Jede proj