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)lgt unmittelbar der 
eine Doppellinie, so 
r Ordnung in der 
rade eine Ebene, so 
aung schneiden, von 
standtheil zweiter 
r eine Linie erster 
rch die Doppelgerade 
Doppelgeraden, nur 
ie enthält daher un- 
rade schneiden und 
somit eine Regel 
te Doppelgerade, so 
, dass jede Regel- 
Beschaffenheit sei, 
jnthalten müsse. 
) vier beliebige Er- 
tverständlich dürfen 
ingehören, da sonst 
srboloides auch der 
Vorangeführten an 
gende des zweiten 
ikte (die vier Treff- 
lach dem „Principe 
[) zur Folge hätte, 
r Fläche angehören 
\ und /¿2 (reell oder 
g x schneiden. Jede 
der beiden Geraden hat mit der Rgelfläche vier Punkte, d. i. beziehungs 
weise die Punkte a\, a 1 2 , a\, a\ und o*,, a\, a 2 3 , a 2 4 gemein, in 
welchen jede derselben die vier Erzeugenden g x , g a , g 3 und g i trifft. 
Daraus folgt aber ohne weiters, dass die beiden Geraden h x und 7i 2 
ilirer ganzen Ausdehnung nach der Fläche angehören. 
Denkt man sicli nun durch eine der beiden Geraden h x und h„, 
etwa durch h x und durch eine der vier Erzeugenden, allenfalls durch 
g x eine Ebene gelegt, so muss dieselbe die Regelfläche dritter Ordnung 
noch in einer Geraden g‘ schneiden. 
Tritt der Fall ein, dass g‘ mit h x zusammenfällt, so ist h x 
offenbar eine Doppelgerade der Regelfläche und die oben auf- 
«zestellte Betrachtung wäre somit bereits bewiesen. 
Gesetzt aber, g‘ falle mit li x nicht zusammen, sondern repräsen 
tiere eine gewöhnliche Erzeugende der Regelfläche. Dies angenommen, 
bilden die drei Geraden h x , g x und g‘ den vollständigen Schnitt jener 
Ebene mit der Regelfläche und es muss daher, da g x und g‘ zwei gewöhn 
liche Erzeugenden der Fläche darstellen, die Gerade h x der Ort der 
Schnittpunkte aller anderen Erzeugenden der Fläche mit der genannten 
Ebene sein. Ebenso findet man, dass auch die Gerade h 2 von allen 
Erzeugenden der Regelfläche geschnitten wird. 
Es wurde ferner festgestellt, dass die Ebene, welche durch h x 
und g x gelegt wurde, mit der Fläche noch eine zweite Erzeugende g J 
gemein habe. Diese letztere kann nun offenbar die Gerade h 2 in keinem 
anderen als in jenem Punkte a 2 x schneiden, welchen die Geraden h„ 
und g x gemein haben. Der Punkt a' l x ist mithin ein Doppelpunkt, 
der Fläche. 
Das Gleiche gilt von jedem anderen Punkte der Geraden 7z„; 
denn legen wir durch h x und eine beliebige andere Erzeugende, bei 
spielsweise durch jene Erzeugende g 3 , die h„ in a 2 3 trifft, eine Ebene, 
so enthält diese gleichzeitig noch eine weitere Erzeugende g J 3 , welche 
\ ebenfalls in a 2 3 treffen muss. Hieraus ist direct zu ersehen, dass 
wenn die Gerade h x einfach ist, die Gerade h q nothwendig eine Dop 
pelgerade sein muss und umgekehrt. Es besteht mithin der Satz: 
12. „Jede Begelfläche dritten Grades besitzt eine Doppelgerade 
und eine einfache Gerade, ivelche Geraden von sämmtlichen Erzeu 
genden der Fläche geschnitten werden.“ 
Diese nothwendige Eigenschaft bildet das Fundament für alle 
folgenden Entwickelungen, hauptsächlich aber für jene, welche die 
projecti vische Erzeugung der Fläche betreffen.