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IV. 
Lorsque l’on emploie pour surface auxiliaire K, une sphère tangente à la surface 
de révolution (générale ) suivant le parallèle 3, on sait que l’on détermine la pro 
jection verticale (fig. 33)y v du point?/'de la courbe de contact, et l’on en déduit 
le point y h . 
Lorsque l’on emploie une hyperboloïde auxiliaire, l’on détermine au contraire 
(ainsi qu’il vient d’être dit § III) le point y' h pour en conclure le point y ,v . 
L’emploi de l’hyperboloïde auxiliaire peut donc servir à vérifier la construction 
du point y lorsque l’on aura employé, au préalable, une sphère auxiliaire. 
Cette nouvelle méthode de construire les points de la courbe de contact d’une 
surface de révolution et d’un cône, n’est donc pas sans intérêt, puisqu’elle peut 
être employée comme moyen de vérification ; et jusqu’à présent le seul moyen de 
vérification graphique que l’on avait à sa disposition, était l’emploi d’un cône comme 
surface auxiliaire K, puisqu’en remplaçant la surface de révolution (pour le parallèle 
considéré S) par un cône tangent suivant ce parallèle d, on déterminait le point y h , 
duquel l’on concluait le point y' v . 
Ainsi la construction, au moyen du cône auxiliaire, ou de l’hyperboloïde auxi 
liaire détermine le point y' de la même manière, à savoir : que l’on construit d’a 
bord la projection horizontale y" 1 , tandis qu’en employant une sphère auxiliaire on 
détermine d’abord le point y ,v . 
§ Y. 
Nous savons que la courbe de contact d’un cône S, et d’une surface du second 
ordre et de révolution 2, est une courbe plane G, dont le plan est perpendiculaire 
au plan méridien M passant par l’axe Z de cette surface 2, et par le sommet s du 
cône S,. 
Par conséquent si l’on coupe la surface 2 r par le plan M, on obtiendra une co 
nique l ayant l’axe Z pour un de ses axes ; et si par le point s on mène deux tan 
gentes à la courbe l, la corde qui unira les points de contact sera, sur le plan M, 
la projection orthogonale de la courbe C,. 
Nous savons encore que lorsque l’on a un cône de révolution, on peut construire 
une infinité de surfaces du second ordre et de révolution (ayant meme axe de ro 
tation que le cône) tangentes à ce cône suivant un de ses parallèles. 
Cela dit : 
Étant donnée une surface générale de révolution 2, un parallèle d de cette surface