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Vorrede. 
schulen allein, dass die Geometrie so lange graphisch 
construieren muss bis gelernt ist, ohne äussere An 
schauung räumlich zu denken. 
Die Lösung der Aufgabe, die ich hier darhiete, habe ich 
vor einer Reihe von Jahren (1863 in der „Zeitschrift f. Mathem. 
u. Physik“) in kurzem Ueberblick skizzirt und seitdem vielfach 
erprobt. Ich entwickele an der Betrachtung der Raumelemente: 
Gerade Linie, Punkt und Ebene und an ihren gegenseitigen Be 
ziehungen und einfachsten Zusammensetzungen in Polygonen und 
Polyedern, sowie an den als Projectionen des Kreises ent 
stehenden Kegelschnitten die Methoden der darstellenden 
Geometrie; ausgehend von der Centralprojection, dann auf 
steigend zur centrischen Collineation der Räume als der Theorie 
der Modellirungs-Methoden und zurückgehend zu dem Specialfall 
der Parallelprojection gewinne ich alle die Hilfsmittel, welche 
für die constructive Theorie der krummen Linien und Flächen 
nöthig sind. Es sind die Untersuchungsmittel der neueren 
synthetischen oder der Geometrie der Lage; vor allem wichtig 
für das Ziel der darstellenden Geometrie die klare Einsicht 
in den Zusammenhang und den Formenwandel der collinear- 
verwandten Figuren, und die Erkenntniss, dass die involuto- 
rischen Systeme in der Ebene und im Raum die Quelle bilden, 
aus der alle Arten von Symmetrie entspringen. 
Eine solche Entwickelung ist wenn nicht überhaupt für 
Gereiftere so doch in der Voraussetzung möglich, dass ein 
elementarer Cursus der darstellenden Geometrie vorausgegangeu 
ist; dann genügt es, in dem Abschnitt von der Parallelpro 
jection, wie ich gethan, nur recapitulierend und ergänzend zu 
verfahren, um namentlich die Vortheile zu entwickeln, welche 
von den gewonnenen allgemeinen Gesichtspunkten und Metho 
den für diese elementaren Gebiete zu ziehen sind; darum sind 
hier ganze Richtungen der Untersuchung und Entwickelung 
nur flüchtig berührt worden; ich habe die Gefahr nicht unter 
schätzt, die darin liegt, und npiss es der billigen Beurtheilung 
der Leser überlassen, iestzustellen ob ich sie vermieden habe; 
jedenfalls ist dieser Abschnitt aus zahlreichen Lehrbüchern 
leicht zu ergänzen. 
Diese Durchführung einer Methodik durch die ganze 
Reihe der wesentlichen Projections- und Modellierungs-Metho 
den hat obwohl in ganz anderer Folge der Materien und in