60 
J. Methodenlehre: A) Centralprojection. 19. 
stauten k (§ 15.) und die Doppelstrahlen von zwei projectivischen 
Büscheln am nämlichen Scheitel und in derselben Ebene aus den 
Rechtwinkelstrahlen q, r oder q, r und der (konstanten k (§ 18., 6) 
bestimmt werden. Sind die Reihen durch A, A , Q, R bestimmt, 
also k~ = Q'A' .AR, so zeigt man, dass im Falle der Verschieden 
heit des Sinnes der beiden Reihenfolgen A Q oo, AocR Doppel 
elemente nothwendig ausserhalb der Strecke QR liegen müssen; 
dass dagegen im Falle der Gleichheit des Sinnes dieser Reihenfol 
gen Doppelelemente nur zwischen Q' und R liegen können. Ent 
sprechend im Falle der Büschel ausserhalb des Winkels qr oder 
innerhalb desselben. Ist dann F respective f ein solches Element, 
so hat man für entgegengesetzten Sinn 
FR — FQ' = Q'R, FR . FQ' = k 2 \ 
oder 
fr — fq — qr, tan fr . tan fq = k 2 
und erhält aus Differenz und Product zwei stets reelle Werthe. 
Bei gleichem Sinn ist aber Q'F -j-FR — QR, FQ' . FR = A 2 etc. 
und man erhält aus Summe und Product zwei reelle verschiedene 
oder zwei gleiche oder zwei nicht reelle Werthe, je nachdem 
k^\ Q'R ist d. h. nach Art. 15,, 2 je nachdem die Segmente GH, 
G'H' sich nicht treffen, aneinander stossen oder übereinander greifen. 
Ebenso im Büschel für die Winkel gh und g'h'. 
I'ig. 36. 
, JA' 
A p: Jf 
.i<3—a e— 
•A 
ma \a\ 
14) Man construiert daher die Doppelpunkte im Falle der 
Reihen wie folgt. 1) Bei ungleichem Sinn (Fig. 36 b): Man be 
schreibt aus dem Mittelpunkte M von Q'R einen Kreis, der für die 
Punkte Q' und R die Ordinate k hat; er enthält die Doppelpunkte 
Ej, F T 2) Bei gleichem Sinn (Fig. 36 a.): Man schneidet den aus 
M über Q’R beschriebenen Kreis durch eine Parallele im Abstande 
k von der Geraden und fällt von den Schnittpunkten Perpendikel 
auf sie, welche F l , F % liefern. 
Die Doppelelemente vereinigter projectivischer respective invo- 
lutorischer Büschel lassen sich analog ermitteln. (Vergl. § 18., 3, 5. 
u. § 20.) Sie können aber auch durch die vorigen Constructionen 
gefunden werden. 
15) In den durch das Centrum der Collineation gehenden Strahlen 
sind die beiden projectivischen Reihen entsprechender Punkte bei 
der einen Umlegung von entgegengesetztem Sinn — dann liegen 
die Gegenpunkte zwischen den Doppelpunkten — und bei der an-