Involutorische oder harmonische Collineation. 20. 63 
2) Liegt P in der Mitte zwischen den Doppelpunkten 6 nnd 
S oder nnendlich fern, so erhält man SP' : (5P' — (£P y : SP y , 
d. h. die Mitte zwischen P' und P y ist auch die Mitte zwischen den 
Doppelelementen. (Yergl. § 19., 1 u. § 9.) Man formuliere das ent 
sprechende Resultat für Büschel. 
3) Man construiere eine involutorische Centralcollineation, er 
läutere das vertauschbare Entsprechen an Original und Bild einer 
ebenen Figur und besonders die Vereinigung der Gegenaxen in der 
Mitte zwischen (5 und s als die unerlässliche Bedingung seiner 
Möglichkeit. Wie gestaltet sich die Construction mit Benutzung 
der Parallelen zu s durch (5 und der symmetrischen Reihen in 
derselben? (Yergl. § 19; 3, 4.) 
4) Man erläutere das Viereck von zwei entsprechenden Punkte 
paaren oder Geradenpaaren in Hinsicht seiner harmonischen Eigen 
schaften. 
5) Man verzeichne ein Sechseck und ein Dreieck in schräger 
Ebene, dessen Ecken bei der Umlegung mit andern Ecken von ihm 
selbst zusammenfallen. Eine Ecke in der Axe giebtein2n—leck. 
6) Die Relationen [QiSAÄ) = — 1 — [csad) sagen aus, dass 
die Doppelelemente in den involutorischen Reihen und Büscheln 
einer solchen Collineation mit jedem Paar entsprechender Elemente 
derselben eine harmonische Gruppe von Punkten oder Strahlen 
bilden, 
7) In den involutorischen Büscheln aus den Punkten der Col- 
lineationsaxe fallen die entsprechenden Rechtwinkelpaare q, q mit 
r\ r zusammen (Fig. 37), nämlich in den Halbierungslinien der 
von den Strahlen c und s gebildeten Winkel. Man beweise diess 
aus dem charakteristischen Doppelverhältniss (§ 19, 9.) und aus der 
Construction. 
8) Wenn bei zwei in derselben Geraden vereinigten projecti- 
vischen Reihen i, t' ein Paar von Punkten sich vertauschungsfähig 
entsprechen, so thun diess alle Paare und die Reihen sind invo- 
lut orisch. 
Das folgt auch direct aus der Gleichheit der Doppelverhält 
nisse. Ist (ABCC') — (A'B'C'C) und denken wir D' in B, so muss 
auch D in B’ sein. Denn 
AC AC A'C' A'C . , BC' B'C AC' ÄC 
BC ■ BC B'C ■ B'C ö BC B'C AC ÄC 
wo die Vertauschung von B mit B' die von B' mit B nach sich 
zieht. 
Legt man also zwei projectivische Reihen so auf einander, 
dass ihre Gegenpunkte Q\ R sich decken, — in M, dem Central 
punkt, Mittel- oder Hauptpunkt der Involution — so sind sie in 
Involution; in der That, alle die entsprechend gleichen Strecken