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Die Theorie der windschiefen Regelflächen schliesst sich 
ganz natnrgemäss an, die technisch verkommenden Typen der 
selben geben vortreffliche Gelegenheit zu ihrer Entwickelung 
und Erläuterung; mit einer kurzen Behandlung der Regelflächen 
dritten Grades schliesse ich sie, weil dieselben geeignet sind, 
gewisse allgemeine Anschauungen zu illustrieren. Endlich er 
halten die Rotationsflächen ihrer technischen Bedeutung 
wegen eine eigne eingehende Behandlung; ich nehme dabei 
Anlass, die sogenannten Beleuchtungs-Constructionen als Con- 
structionen umschriebener Developpabeln, deren Richtungskegel 
coaxiale Rotationskegel sind, zu erledigen und für alle die be 
trachteten Flächen zu erklären. Ueberall dringt die Behandlung 
vor bis zu den Elementen der Lehre von der Krümmung der 
Flächen, deren weitere Ausführung jedoch über den Plan meines 
Buches hinausgeht. 
Diese Anordnung fördert mit mehr Sicherheit als 
die dem Schema von Monge entsprechende die wissen 
schaftliche Durchbildung der Raumanschauung, weil 
sie eine bestimmte wichtige Raumform oder eine Gruppe solcher 
Formen von wesentlich gleichen Characteren im Zusammenhänge 
nach allen Richtungen zu studieren erlaubt, statt die verschie 
densten Formen; Kegel, Rotationsflächen, windschiefe Regel 
flächen etc. im Fluge nach einander vorüberzuführen, um nur 
z. B. die eine Frage nach der Tangentialebene bei gegebenem 
Berührungspunkte zu erörtern. Ich wähle diess Beispiel, weil 
es nebenbei sehr geeignet ist zu zeigen, dass das Princip dieser 
Zusammenordnung lediglich ein formal analytisches der Geometrie 
selbst vollkommen fremdes ist, dass es also unmöglich sein 
muss, mit solcher Anordnung eine auf sich selbst oder doch 
auf die Mittel der Geometrie gestellte Entwickelung zu ver 
einigen. Sicher ist das sorgfältige und zusammenhängende 
Studium des einen Beispiels der Schraubenlinie und ihrer 
developpabeln Fläche für die Entwickelung der Raumanschauung 
werthvoller und erfolgreicher als die flüchtige Berührung vieler 
verschiedener Beispiele sein würde. Wie bei dieser das Nahe 
liegendste übersehen werden kann, zeigt der Umstand, dass 
der Selbstdurchdringung oder Doppelcurve der developpabeln 
Schraubenfläche nirgends Erwähnung gethan ist. Noch werth 
voller womöglich ist die Behandlung der Raumcurve vierter 
Ordnung erster Art und der nach dem Gesetz der Dualität