Asymptotenrichtungen zu bezeichnen; es zerfällt in zwei 
Theile oder Zweige, die erst in diesen unendlich fernen Punk 
ten sich zusammenschliessen und wird Hyperbel genannt. 
In Fig. 49 entspricht dem Kreise K die Hyperbel K' und ihre 
Asymptoten sind die Bilder derjenigen Tangenten von K, deren 
Berührungspunkte in der Gegenaxe r liegen. 
Trifft der Kreis die Gegenaxe r seines Systems nicht, so 
hat sein Bild keine unendlich fernen Punkte, sondern ist wie 
er eine im Endlichen geschlossene Curve, eine Ellipse. So 
K 2 , das Bild von K 2 in Fig. 49. 
Berührt endlich insbesondere der Kreis, wie K x in Fig. 48, 
die Gegenaxe r, so hat sein Bild K x zwei zusammenfallende 
Punkte in unendlicher Ferne, wir sagen, die unendlich ferne 
Gerade seiner Ebene, die entsprechende von r, berührt das 
selbe; es besteht aus einem Zweig, der sich erst im Unend 
lichen schliesst, und heisst eine Parabel. 
Die collinear verwandten Curven des Kreises oder seine 
Centralprojectionen (die Kegelschnitte) sind also Hyperbeln, 
Ellipsen, Parabeln; speciell ergiebt sich, dass die Parallel- 
projectionen des Kreises — oder die ihm affinen Curven (vergi. 
§ 21. a.) — Ellipsen sein müssen, und bekannt ist, dass die 
zu ihm ähnlichen Curven (§ 21. c.) wieder Kreise sind. 
Und sofort allgemein: Die Collinearverwandten 
oder Centralprojectionen eines Kegelschnitts sind 
Kegelschnitte und zwar Ellipsen, Parabeln oder 
Hyperbeln, je nachdem er die Gegenaxe seines Sy 
stems nicht schneidet, berührt oder schneidet. Denn 
zwei für dasselbe Centrum zu einer dritten Curve centrisch 
collineare Curven sind selbst centrisch collinear. (§ 22., 4.) 
Die affinen Curven oder die Parallelprojectionen 
eines Kegelschnitts sind Kegelschnitte derselben 
Art. 
1) In Figur 46, § 24. sind die Gegenaxen q und r einge 
tragen für den Fall des elliptischen Bildes, in Fig. 47, § 24. die 
entsprechenden für das hyperbolische Bild ; man erläutere daran die 
correspondierende Umlaufsbewegung eines Punktes der Curve in 
Original und Bild. 
2) Man thue dasselbe für das parabolische Bild des Kreises 
und für das parabolische Bild der Hyperbel.