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Vorrede. 
ihr entsprechenden Developpabeln mit ihren involutorischen 
Symmetrien; denn sie umfasst eine grosse Reihe der häutigst 
vorkommenden Durchdringungsformen, und es ist nicht nur 
im allgemeinen Falle fast unmöglich, sondern auch im speciellen 
Falle unvorteilhaft, solche ohne die Kenntniss jener Symmetrie 
gesetze construieren zu wollen. Gleichwohl ist eine derartige 
Behandlung nirgends auch nur versucht worden; die Untersuchung 
der developpabeln Fläche, welche zwei Kegelschnitten gemein 
sam umschrieben ist, unter dem Gesichtspunkt der Schatten 
bestimmung in dem grossen an trefflichen Einzelheiten so reichen 
Werke von de la Gournerie „Traité de géométrie descriptive“ 
3 part. Paris 1860—64 (4°- 72 Bogen Text und 150 Tafeln), 
das einzige Beispiel einer Inangriffnahme dieser Probleme in 
einem Werke über darstellende Geometrie, ruht durchaus auf 
analytischer Basis und bleibt für den Unterricht unfruchtbar, 
so lange man nicht die analytische Geometrie des Raumes in 
weit grösserem Umfange voraussetzen und unbeschränkt be 
nutzen darf. 
Aber wichtiger noch als der pädagogische erscheint mir 
der wissenschaftliche Gewinn, den diese Behandlungsweise 
möglich macht. Es schiene mir schon von Werth, wenn durch 
die Untersuchungen der darstellenden Geometrie das Yerständniss 
bezüglicher Parthien in v. Staudt’s Hauptwerk erleichtert 
würde, das wirklich solcher Erleichterung bedarf; aber es ist 
wichtiger, dass nun die darstellende Geometrie die natür 
liche Einführung in die Geometrie der Lage ist. Sie 
hat alle die Grundanschauungen und Untersuchungsmittel der 
selben auf dem directesten Wege entwickelt und ihre Frucht 
barkeit im Gebiete des Darstellbaren bewährt; bei gereifter 
und durchbildeter Raumanschauung darf sie nun der reinen 
Geometrie die Weiterführung derselben Betrachtungsweise zu 
systematischem Ausbau und über die Grenzen des Darstellbaren 
hinaus überlassen. Das Studium der projectivischen Eigen 
schaften, das der darstellenden Geometrie unumgänglich ist, 
weil nur durch diess aus dem Abbild die Eigenschaften des 
Originals sich erkennen lassen, führt nun zum Studium der 
Raumformen durch Vergleichung der Originale mit Abbildern 
nach einfachen Gesetzen des Entsprechens in allgemeinster 
Lage und Auffassung. In den Materialien der neuern Unter 
suchungen, wie sie z. B. der zweite Theil von Reye’s Vorträgen