Ordnungen des Unendlichkleinen. — Stetigkeit. 
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2. Y= 1 — cosx und y = x werden gleichzeitig unendlich klein; da 
/ • £C\ 2 
Y Y 1 
aber nicht , hingegen —= = — 
y ’ ° ° y- 2 
a; I 
2 / 
I 
einen endlichen von Null ver- 
schiedenen Grenzwert hat, nämlich —, so ist Y unendlich klein von 
zweiter Ordnung in bezug auf y. 
3. Man zeige, daß Y = tg x — sin x in bezug auf y = x unendlich 
klein von dritter Ordnung ist. 
§ 3. Stetigkeit der Funktionen. 
50. Der Stetigkeitsbegriff. Von der stetigen Variablen x 
sagt man, sie durchlaufe das abgeschlossene Intervall a < x < ß stetig, 
wenn sie jeden Wert aus diesem Intervall und jeden nur einmal an 
nimmt. Es kann dies in zwei Richtungen, von a oder von ß aus 
gehend, geschehen; wo nichts anderes bemerkt wird, stellen wir uns 
vor, daß x sich wachsend ändert. 
Wenn eine andere, dem x zugeordnete Variable y während dieses 
Vorgangs auch ein abgeschlossenes Intervall (A, B) stetig durchläuft 
so heißt y = f(x) eine in dem 
Intervall (cc, ß) monotone Funk 
tion, und zwar eine wachsende 
oder eine abnehmende, je nach 
dem A <Jy B oder A y 
> B. Das geometrische Bild 
einer solchen Funktion ist 
links nach rechts 
B 
f 
y 
yW i 
A 
1 | 
0 
Cf. 
X-*- ß > 
ein von 
3Tig. 26 a. 
X 
aufsteigender, beziehungsweise abfallender Bogen, Fig. 26a, 26b. 
Besteht der Bereich von y aus mehreren (beliebig vielen) anein 
ander gereihten Intervallen (A, C), (C, Dj, (I), JE), (JE, B), welche stetig 
und in abwechselnder Richtung durchlaufen werden, während x sein 
Intervall stetig durchläuft, so ist y eine aus mehreren aneinander sich 
anschließenden monotonen Abschnitten zusammengesetzte Funktion, 
die abwechselnd zu- und abnimmt; ihr Bild setzt sich aus miteinander 
zusammenhängenden, abwechselnd auf- und absteigenden Bogen zu 
sammen. 
Funktionen von der beschriebenen Art bezeichnet man als in dem 
abgeschlossenen Intervall a<Jx<Jß stetige oder kontinuierliche Funktionen. 
Ist y in dem nicht abgeschlossenen Intervall a <C x < ß eindeutig 
definiert, und besitzt es die eben angeführten Eigenschaften in jedem 
Intervall, das innerhalb (cc, ß) liegt, so heißt /(x) eine in dem Inter 
vall a < x < ß stetige Funktion. 
51. Sätze über stetige Funktionen. Um die im vorstehenden 
anschaulich entwickelte Eigenschaft der Stetigkeit arithmetisch nutz-