98 I. Methodenlehre: B) Die Kegelschnitte. 28.
JB* respective, so schneiden sich die entsprechenden Strahlen der
selben stets in dem zugehörigen Berührungspunkt C"', C"-, etc. der
bewegten Tangente. Dieselbe Curve ist somit auch das Erzeugniss
von zwei projeetivischen Büscheln, die Verbindungslinien der Be
rührungspunkte /1B* von zwei testen Tangenten mit den Lagen
des Berührungspunktes C v einer beweglichen Tangente bilden die
selben und das Doppelverhältniss von vier Tangenten ist dem Dop-
pelverhältniss ihrer vier Berührungspunkte gleich. (§ 24.)
11) Für die perspectivische Lage der erzeugenden Reihen und
analog für die der erzeugenden Strahlenbüschel wird der Beweis
hinfällig, d. h. zwei perspectivische Reib en erzeugen eine
Curve zweiter Classe, die nicht von der zweiten Ord
nung ist — ein Punktepaar, nämlich den gemeinsamen Punkt
und das perspectivische Centrum der Reihen; und zwei per
spectivische Büschel erzeugen eine Curve zweiter Ord
nung, die nicht von der zweiten Classe ist — ein Paar
von Geraden, nämlich den gemeinsamen Strahl und die per
spectivische Axe der Büschel. Für ein Punktepaar gilt der Bri-
anchon’sche Satz, für ein Strahlenpaar der Pascal’sche, für jenes
bat der Letztere, für dieses der Erste keine Bedeutung mehr.
Man kann mit Hilfe dessen die Verbindungslinie eines
Punktes mit dem unzugänglichen Schnittpunkt C 2
von zwei Geraden construieren, indem man diese als Gegenseiten
eines Pascal’schen Sechsecks in einem in zwei Gerade degenerierten
Kegelschnitte und jene gesuchte Gerade als PascaPsche Linie des
selben denkt. Man nimmt also die Punkte A, B x auf der einen
und A x , B auf der andern Geraden an, zieht A X B X bis zum Schnitt
C x mit A 2 B, und ebenso AB bis zum Schnitt C mit A 2 B X und
erhält im Schnittpunkt B 2 von A C\ mit A, C einen neuen Punkt
B 2 der gesuchten Geraden A 2 C 2 . Man wähle speciell A x , B x als
unendlich fern und bilde die Figur. Wie lautet die entsprechende
Aufgabe, die der Satz von Brianchon löst?
12) Dass die Erzeugnisse von zwei projeetivischen
Büscheln oder Reihen Kreisprojectionen sind, ergiebt
sieh auch leicht. Sind die Büschel T, T x durch a, b, p und a x ,
b x , p x oder ist die erzeugte Curve durch vier Punkte T, T x , A,
B und die Tangente in T gegeben, so verzeichnen wir einen in T
an p und folglich die Curve berührenden Kreis und markieren seine
Schnitte A, A, T mit a, b, p x ; dann sind die Dreiecke ABT
und ÄB'T' perspectivisch für T als Centrum (£ und eine Gerade
s als Axe nach § 19., 11 und man bestimmt leicht die Gegenaxen
der Collineation.
Für die Reihen A, B, P in 5 und A x , B x , P x in s x (letzterer
Punkt als Schnittpunkt von s mit sj) als erzeugende legen wir
einen die erste in P berührenden Kreis und ziehen von A, A, P x
an ihn die Tangenten; dann ist das Dreiseit derselben zu dem der
